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== '''Beweise zu den Sätzen''' ==

'''''Die Beweise auf dieser Seite sind aus dem Skript hier vom WIKI entnommen.''''' 

=====Beweis von Satz I.1=====
:Voraussetzung: Es seien g und h zwei Geraden, die nicht identisch sind.
:Fall 1:
:Die Geraden g und h haben keinen Punkt gemeinsam. In diesem Fall ist nichts weiter zu zeigen, denn sie haben damit nicht mehr als einen Punkt gemeinsam.
:Fall 2:
:Die Geraden g und h schneiden sich in einem Punkt P. 
:Wir haben zu zeigen, dass sie keinen weiteren Punkt gemeinsam haben. 
:Wir führen den Beweis indirekt und nehmen an, dass die Geraden g und h einen weiteren von P verschiedenen Punkt Q gemeinsam haben. 
:Das Axiom I/1 sagt aus, dass durch zwei verschiedene Punkte genau eine Gerade geht. Da die beiden Punkte P und Q verschieden sind, kann auf sie dieses Axiom angewandt werden. 
:Die Gerade g geht durch P und Q und die Gerade h geht durch P und Q. Da es nun eine und nur eine Gerade gibt, die durch P und Q geht, müssen die beiden Geraden g und h identisch sein.
:Das ist allerdings ein Widerspruch zur Voraussetzung, dass g und h nicht identisch sind.

=====Beweis von Satz I.2=====
:Es seien g und h zwei Geraden. 
:Voraussetzung: g und h haben mehr als einen Punkt gemeinsam. 
:Es seien dieses die Punkte P und Q. 
:Wir haben zu zeigen, dass die beiden Geraden g und h identisch sind. 
:Dieses folgt unmittelbar aus Axiom I/1. 
:Die Annahme, dass ein weiterer gemeinsamer Punkt Q der beiden Geraden g und h existiert, ist damit zu verwerfen.<br />


Dieser Beweis ist nicht schlüssig. Es wird von einer Annahme gesprochen, die nur aufgestellt wird, wenn es sich um einen indirekten Beweis handelt. Bei der Kontraposition wird direkt bewiesen.<br />
Der weitere gemeinsame Punkt Q ist schon Element der Geraden g und h laut Voraussetung.<br />
Also der Beweis wird wie folgt geführt.<br />

<u>Voraussetzung</u>: g und h haben mehr als einen Punkt gemeinsam. P, Q sind Element der Geraden g und h<br />
<u>Behauptung:</u> g und h sind identisch<br />

1) P, Q sind Element von g und h____laut Voraussetzung<br />
2) Durch die Punkte P und Q geht____Axiom I/1<br />
genau eine Gerade. <br />
3)  g und h sind identisch__________2)<br />
Behauptung stimmt  q.e.d --[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 16:43, 15. Nov. 2010 (UTC)
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