Quelltext der Seite Gruppen, abelsche Gruppen 2012 12

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#B9D0F0; align:left;">
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<!--- hier drüber nichts eintragen --->


=Gruppeneigenschaften=
Eine Verknüpfung <math>\odot</math> bzw. einer Operation auf einer Menge M ist eine '''Gruppe''', wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:<br />
'''1. Abgeschlossenheit:''' die  Verknüfung <math>\odot</math> auf der Menge M ist abgeschlossen: Verknüpft man ein Element der Menge mit einem anderen Element der Menge, erhält man wiederum ein Element der Menge<br />
<math> \quad \quad \forall a,b \in M: a \odot b \in M</math><br />
'''2. Assoziativität:''' die  Verknüfung <math>\odot</math> auf der Menge M ist assoziativ<br />
<math> \quad \quad \forall a,b,c \in M: (a \odot b) \odot c = a \odot (b \odot c)</math><br />
'''3. Neutrales Element:''' Innerhalb der Menge M gibt es ein neutrales Element e <br />
<math> \quad \quad \forall a \in M: e \odot a = a \odot e = a</math><br />
'''4. Inverse Elemente:''' Für jedes Element aus M gibt es ein Inverses Element <br />
<math> \quad \quad \forall a \in M: a \odot a^{-1} = e \quad \quad \quad \quad</math> mit <math>a^{-1} \in M</math> und e = neutrales Element<br /><br />
Erfüllt eine Verknüfung <math>\odot</math> auf der Menge M hingegen nicht alle Punkte, aber mindestnes die <u>Abgeschlossenheit</u> und die <u>Assoziativität</u>, so handelt es sich um eine '''Halbgruppe'''.<br /><br />
Erfüllt eine Gruppe zusätzlich eine weitere Eigenschaft, nämmlich die Kommutativität, so ist sie eine '''kommutative bzw. abelsche Gruppe'''<br />
'''5. Kommutativität:''' Die Reihenfolge in welcher die Elemente der Menge M mit <math>\odot</math> Verknüpft werden ist egal<br />
<math> \quad \quad \forall a,b \in M: a \odot b = b \odot a</math><br /><br />
--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 11:38, 12. Dez. 2012 (CET)

<u>Bemerkung --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 14:14, 12. Dez. 2012 (CET):</u><br />
Vielen Dank für Ihre Bemühungen. bezüglich der Abgeschlossenheit muss ein wenig korrigiert werden:<br />
Man spricht nicht davon, dass die Menge bezüglich der Verknüpfung abgeschlossen ist, sondern dass die Verknüpfung auf der Menge abgeschlossen ist also nicht aus der Menge hinausführt.<br />
--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 15:54, 15. Jan. 2013 (CET) Stimmt es nun so?

=Beispiele für endliche Gruppen=
==Restklassen modulo 4==
<math>\mathbb{Z}_4:=\left\{ \overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3} \right\}</math><br />
mit<br />
<math>\overline{0}:=\left\{..., -8, -4, 0, 4, 8, ...\right\}</math> (Menge aller durch 4 teilbaren ganzen Zahlen),<br />
<math>\overline{1}:=\left\{..., -7, -3, 1, 5, 9, ...\right\}</math> (Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 1 lassen),<br />
<math>\overline{2}:=\left\{..., -6, -2, 2, 6, 10, ...\right\}</math> (Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 2 lassen),<br />
<math>\overline{3}:=\left\{..., -5, -1, 3, 7, 11, ...\right\}</math> (Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 3 lassen),<br />

Wir definieren auf <math>\mathbb{Z}_4</math> eine Verknüpfung <math>\oplus</math> wie folgt:<br />
<math>\forall \overline{a}, \overline{b} \in \mathbb{Z}_4: \overline{a}\oplus \overline{b} := \overline{a+b}</math>

Die Struktur <math>\left(\mathbb{Z}_4, \oplus\right)</math> ist eine Gruppe:
#Die Verknüpfung <math>\oplus</math> ist auf der Menge <math>\mathbb{Z}_4</math> abgeschlossen, d.h. <math>\forall \overline{a}, \overline{b} \in \mathbb{Z}_4: \overline{a} \oplus \overline{b} \in \mathbb{Z}_4</math>,
#Die Verknüpfung <math>\oplus</math> ist auf der Menge <math>\mathbb{Z}_4</math> assoziativ, d.h. <math>\forall \overline{a}, \overline{b}, \overline{c} \in \mathbb{Z}_4: \left(\overline{a} \oplus \overline{b} \right) \oplus \overline{c}= \overline{a} \oplus \left( \overline{b} \oplus \overline{c} \right)</math>,
#<math>\mathbb{Z}_4</math>  hat ein neutrales Element, nämlich die Klasse <math>\overline{0}</math>, d.h. <math> \forall \overline{a} \in \mathbb{Z}_4: \overline{a} \oplus \overline{0}= \overline{0} \oplus \overline{a} = \overline{a}</math>,<br />
#Zu jedem Element aus <math>\mathbb{Z}_4</math> gibt es ein inverses Element, d.h. <math>\forall \overline{a} \in \mathbb{Z}_4 \exist \left(-\overline{a}\right): \overline{a} \oplus \left(-\overline{a}\right) = \left(-\overline{a}\right) \oplus \overline{a} = \overline{0} </math>.

Die folgende Verknüpfungstafel verdeutlicht die obigen Eigenschaften:

<ggb_applet width="155" height="176"  version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /><br /><br />
Die Tabelle wurde mit der Tabellenkalkulation von Geogebra generiert. Aus diesem Grunde fehlen die Querstriche über den Klassen.

Die Verknüpfungstabelle zeigt eine weitere Eigenschaft der Gruppe <math>\left(\mathbb{Z}_4, \oplus\right)</math>:<br />
Die Ergebnisse in der Tabelle sind symmetrisch bezüglich der Hauptdiagonalen angeordnet. Letzteres bedeutet, dass die Verknüpfung <math>\oplus</math> auf <math>\mathbb{Z}_4</math> kommutativ ist:<br />
*<math>\forall \overline{a}, \overline{b} \in \mathbb{Z}_4: \overline{a} \oplus \overline{b} = \overline{b} \oplus \overline{a}</math>.<br />
Kommutative Gruppen werden auch Abelsche Gruppen genannt.<br /><br />
==Gruppe der Deckdrehungen des Quadrats==
Hierbei verstehen wir unter <math>D_Q</math> die Menge aller Drehungen die das Quadrat <math>\overline{ABCD}</math> auf sich selbst abbilden:<br />
<math>D_Q:=\left\{D_{0}, D_{90}, D_{180}, D_{270}\right\}</math><br /><br />
Die Verknüpfung sei die NAF.<br /><br />
Daraus ergibt sich folgende Verknüpfungstafel:<br />
[[Bild:Verknüpfungstafel_DR.3JPG.JPG| 200px]]<br /><br />
<u>'''Überprüfung der Gruppeneigenschaften:'''</u><br />
1. Abgeschlossenheit: siehe Verknüpfungstabelle<br />
2. Assoziativität: Drehungen sind immer assoziativ<br />
3. Neutrales Element: <math>D_{0}</math><br />
4. Inverse Elemente: <math>D_{0} \cdot D_{0}= D_{0}</math> und <math>D_{90} \cdot D_{270} = D_{0}</math> und <math>D_{180} \cdot D_{180} = D_{0}</math> und <math>D_{270} \cdot D_{90} = D_{0}</math><br />
5. Kommutativ: Drehungen sind immer kommutativ<br /><br />
Es handelt sich also sogar um eine abelsche Gruppe.<br /><br />
Anmerkung: Die Gruppe der Deckdrehungen des Quadrats ist eine zyklische Gruppe.<br /><br />
--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 16:26, 11. Dez. 2012 (CET)<br /><br />

==Gruppe der Deckabbildungen des Rechtecks==
[[Bild:Decvkabbildungen_Rechteck.png| 300px]]<br />
Unter <math>D_R</math> wollen wir die Menge aller Bewegungen verstehen, die das Rechteck <math>\overline{ABCD}</math> auf sich selbst abbilden. Es handelt sich dabei um die folgenden Drehungen (mit dem Drehzentrum <math>Z</math>) und Geradenspiegelungen:<br />
<math>D_R:=\left\{D_{0}, D_{180}, S_m, S_n\right\}</math><br /><br />
Es ergibt sich folgende Verknüpfungstafel:<br />
[[Bild:Verknüpfungstafel_DR.4.JPG| 200px]]<br /><br />
<u>'''Überprüfung der Gruppeneigenschaften:'''</u><br />
1. Abgeschlossenheit: siehe Verknüpfungstabelle<br />
2. Assoziativität: Gegeben <br />
3. Neutrales Element: <math>D_{0}</math><br />
4. Inverse Elemente: <math>D_{0} \cdot D_{0}= D_{0}</math> und <math>D_{180} \cdot D_{180} = D_{0}</math> und <math>S_{m} \cdot S_{m} = D_{0}</math> und <math>S_{n} \cdot S_{n} = D_{0}</math><br /><br />
Anmerkung: Die Gruppe der Deckabbildungen des Rechtecks ist die kleinste nicht-zyklische Gruppe und wird auch '''Kleinsche Vierergruppe''' genannt.<br /><br />
--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 10:17, 12. Dez. 2012 (CET)<br /><br />



<!--- hier drunter nichts eintragen --->
[[Kategorie:Linalg]]

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