Quelltext der Seite Gruppendefinition (kurz)

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#CCFFCC; align:left;">
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| valign="top" |
=Linksinvers gleich Rechtsinvers=
==Satz 1==
Es sei <math>[G, \odot]</math> eine Gruppe.<br />
<math>\forall a \in G: a \odot b = e \land c \odot a = e \Rightarrow b=c</math>
==Beweis von Satz 1==
Es sei <math>b</math> das Linksinverse bzgl. <math>\odot</math> von <math>a</math>. Also <math>b\odot a = e</math> ist unsere Voraussetzung.<br />
Wir multiplizieren <math>b</math> von rechts mit <math>a</math>:
{|
|-
| (I)|| <math>a \odot b = e \odot a \odot b </math>|| (Wir haben <math>a</math> mit <math>b</math> von rechts multipliziert
|-
| (II) || <math>a \odot b = (b^{-1} \odot b)\odot a \odot b </math> ||(Auch <math>b</math> hat ein Linksinverses <math>b^{-1}</math>
|-
|(III) || <math>a \odot b = b^{-1} \odot (b\odot a) \odot b </math> || (Assoziativität)
|-
|(IV) || <math>a \odot b = b^{-1} \odot e \odot b </math> || (<math>b</math> ist das Linksinverse von <math>a</math>)
|-
| (V) || <math>a \odot b = b^{-1} \odot b </math> || (Eigenschaften des Einselements)
|-
| (VI) || <math>a \odot b = e </math> || (<math>b^{-1}</math> ist das Linksinverse von <math>b</math>
|}
Mit Gleichung (VI) haben wir gezeigt, dass das Linksinverse von <math>a</math> auch Rechtsinverses von <math>a</math> ist.

=Linkseins gleich Rechtseins=
==Satz 2==
Es sei <math>[G, \otimes]</math> eine Gruppe. Wenn <math>e \in G</math> von links multipliziert Einselement von <math>[G, \otimes]</math> ist, dann ist <math>e</math> auch von rechts multipliziert Einselement von <math>G</math>.
==Beweis von Satz 2==
Es sei <math>[G, \otimes]</math> Gruppe. Es gelte ferner für das Element <math>e \in G</math> die folgende Eigenschaft: <math>\forall g \in G: e \otimes g = g</math>.<br />
Wir haben zu zeigen, dass jetzt auch <math>g \otimes e = g</math> für alle <math>g</math> aus <math>G</math> gilt.<br />
Wir gehen von <math>(I) e \otimes g = g</math>.<br />
In Gleichung <math>(I)</math> multiplizieren wir von rechts auf beiden Seiten mit <math>g^{-1}\otimes g</math> und erhalten <math>(II)</math>.<br />
<math>(II) e \otimes g \otimes  (g^{-1}\otimes g) = g \otimes (g^{-1}\otimes g)</math>.<br />
Aus <math>(II)</math> folgt:<br />
<math>(III) e \otimes g = g \otimes e</math> q,e.d.
=Verkürzte Gruppendefinition=
Wegen der Gültigkeit von Satz 1 und Satz 2 können wir unsere Gruppendefinition kürzer schreiben:
==Definition 5: Gruppe (verkürzte Schreibweise)==
Eine nichtleere Menge <math>G</math> zusammen mit einer Verknüpfung <math>\oplus</math> heißt Gruppe, wenn gilt:
# <math>\oplus</math> ist abgeschlossen auf <math>G</math>: <math>\forall a, b \in G: a \oplus b \in G</math>
# <math>\oplus</math> ist assoziativ auf <math>G</math>:  <math>\forall a, b, c \in G: (a \oplus b) \oplus c = a \oplus (b \oplus c)</math>
# Es gibt in <math>G</math> bzgl. <math>\oplus</math> ein neutrales Element <math>n</math>: <math>\exists n \in G \forall a \in G: a \oplus n =  a</math>
# Jedes Element aus <math>G</math> hat in <math>G</math> ein inverses Element bzgl. <math>\oplus</math>: <math>\forall a \in G \exists -a \in G: a \oplus -a= n</math>.
<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->
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[[Kategorie:Algebra]]