Quelltext der Seite Gruppendefinition (lang)

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#CCFFCC; align:left;">
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=Definitionen=
==Definition 1: (Algebraische Struktur)==
Eine Menge <math>S</math> zusammen mit einer Operation <math>o</math> oder Relation <math>r</math> auf dieser Menge nennt man algebraische Struktur. <br />

Schreibweise:<br />
<math>[S, o]</math> bzw <math>[S, r]</math>

==Definition 2: (Halbgruppe)==
Eine algebraische Struktur <math>[H, \odot]</math> heißt Halbgruppe, wenn 
<math>\odot</math> auf <math>H</math> abgeschlossen und assoziativ ist.<br />
D.h. es gilt:
#(Abgeschlossenheit) <math>\forall a,b \in H: a \odot b \in H</math>
#(Assoziativität) <math>\forall a, b, c \in H: (a \odot b) \odot c = a \odot (b \odot c)</math>.

==Definition 3: (Monoid)==
Eine Halbgruppe <math>[M, \odot]</math> heißt Monoid, wenn sie ein Einselement hat:<br />
*(Einselement) <math>\exists e \in M \forall a \in M: e \odot a = a \odot e = a</math>
==Definition 4: (Gruppe)==
Ein Monoid <math>[G, \odot]</math> heißt Gruppe, wenn jedes Element von <math> G </math> in <math> G </math> ein inverses Element bzgl. <math>\odot</math> hat:
*(inverse Elemente) <math>\forall a \in G \exist a^{-1} \in G: a \odot a^{-1}= a^{-1} \odot a = e</math>
==Definition 5: (Abelsche Gruppe)==
Wenn in einer Gruppe <math>[G,\odot]</math> für alle Gruppenelemente <math>a</math> und <math>b</math> <math>a \odot b=b\odot a</math> gilt, dann heißt <math>[G,\odot]</math> kommutative oder abelsche Gruppe.
=Bemerkungen=
==Additiv geschriebene Gruppen==
Unsere bisherigen Definitionen waren in gewisser Weise "multiplikativ" geschrieben. Bezieht man sich auf eine Struktur mit einer Operation, die eher "additiv" zu verstehen ist, spricht man häufig vom neutralen Element <math>n</math> und schreibt die Inversen als <math>-a</math>.<br />
Wir geben im Folgenden die Langfassung einer Gruppendefinition, die additiv geschrieben ist und sich nicht auf bereits definierte Strukturen stützt.

==Definition 4*: (Gruppe, Langfassung)==
Eine nichtleere Menge <math>G</math> zusammen mit einer Verknüpfung <math>\oplus</math> heißt Gruppe, wenn gilt:
# <math>\oplus</math> ist abgeschlossen auf <math>G</math>: <math>\forall a, b \in G: a \oplus b \in G</math>
# <math>\oplus</math> ist assoziativ auf <math>G</math>:  <math>\forall a, b, c \in G: (a \oplus b) \oplus c = a \oplus (b \oplus c)</math>
# Es gibt in <math>G</math> bzgl. <math>\oplus</math> ein neutrales Element <math>n</math>: <math>\exists n \in G \forall a \in G: a \oplus n = n \oplus a = a</math>
# Jedes Element aus <math>G</math> hat in <math>G</math> ein inverses Element bzgl. <math>\oplus</math>: <math>\forall a \in G \exists -a \in G: a \oplus -a=-a \oplus a= n</math>.
<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->
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[[Kategorie:Algebra]]