Quelltext der Seite Mittelsenkrechte, Mittelsenkrechtenkriterium und der Zusammenhang zur Geradenspiegelung SoSe 18

=== Mittelsenkrechte ===
Eine Mittelsenkrechte ist das, was ihre Bezeichnung ausdrückt:eine Gerade, die eine Strecke halbiert und senkrecht auf ihr steht.<br />
Konstruieren Sie nachfolgend die Mittelsenkrechte:<br /> Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren].<br /><br />

<ggb_applet width="569" height="439"  version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "true" allowRescaling = "true" />
===== Definition VI.1: (Mittelsenkrechte) =====
::Es sei <math>\ m</math> eine Gerade und <math>\overline{AB}</math> eine Strecke, die durch <math>\ m</math> im Punkt <math>\ M</math> geschnitten wird. <math>\ m</math> ist die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>, wenn 

::# <math>m \perp AB</math>
::# <math>\left| AM \right| = \left| MB \right|</math>

=== Zusammenhang Mittelsenkrechte und Geradenspiegelung ===
Es sei ''g'' eine Gerade und <math>P\not\in g</math>, ein beliebiger Punkt der mit ''g'' in der gleichen Ebene liegt. ''P''' sei der Bildpunkt von ''P'' bei der Geradenspiegelung <math>S_{g}</math>. <br />
Nach der Definition Mittelsenkrechte und der Definition Geradenspiegelung ist die Spiegelgerade ''g'' Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{PP'}</math>.


=== Konstruktion eines Bildpunktes ''P''' bei der Spiegelung <math>S_{g}(P)</math> mit Zirkel und Lineal ===
Nachfolgende GeoGebra-Applikation zeigt Schritt für Schritt die Vorgehensweise bei der Konstruktion des Bildpunktes ''P''' bei der Spiegelung <math>S_{g}(P)</math><br /><br />Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren].<br /><br />
<ggb_applet width="908" height="528"  version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /><br /><br />
Welche mathematischen Zusammenhänge zwischen den Punkten A,B,P und P' wurde für die Konstruktion genutzt?<br />
'''Ihre Antwort:'''

<br /><br />
Wir können uns nun fragen: Ist der Punkt <math>P'</math>, den wir oben konstruiert haben, tatsächlich der Bildpunkt von ''P'' bei der Spiegelung <math>S_{g}(P)</math>?<br />Wenn wir beweisen könnten, dass <math>g</math> tatsächlich die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{PP'}</math> ist, dann wären wir fertig, denn dann wäre nach Definition Mittelsenkrechte und Geradenspiegelung, ''P''' tatsächlich Bildpunkt von ''P'' bei der Spiegelung <math>S_{g}</math>. <br />
Nach unserer Konstruktion gilt: <math>\left| AP \right| =\left| AP' \right|</math> und <math>\left| BP \right| =\left| BP' \right|</math>. Wir können also sagen, die beiden Punkte ''A'' und ''B'' haben zu den beiden Endpunkten der Strecke <math>\overline{PP'}</math> nach Konstruktion jeweils ein- und denselben Abstand. Außerdem gilt nach Konstruktion, dass ''A'' und ''B'' auf der Spiegelachse ''g'' liegen. Wenn wir nun beweisen könnten, dass alle und nur die Punkte, die auf der Mittelsenkrechten einer Strecke liegen zu den beiden Endpunkten dieser Strecke ein- und denselben Abstand haben, wüssten wir sicher, dass ''g'' die Mittelsenkrechte von <math>\overline{PP'}</math> ist. 
Genau das wollen wir jetzt beweisen. Wir gliedern dazu die obige Aussage in zwei Sätze:<br /><br />

===== Satz VI.1 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{PP'}</math>gehört.) =====
::Wenn ein Punkt <math>\ A</math> zu den Endpunkten der Strecke <math>\overline{PP'}</math> jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{PP'}</math>.

===== Satz VI.1 b (notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{PP'}</math> gehört)=====
::Wenn ein Punkt <math>\ A</math> zur Mittelsenkrechten der Strecke <math>\overline{PP'}</math> gehört, dann hat er zu den Punkten <math>\ P</math> und <math>\ P'</math> ein und denselben Abstand.
<br /><br />
Beweisen werden wir die beiden Sätze in der Vorlesung bzw. in der Übung!<br /><br />

Wir können nun die beiden Sätze VI.1 a und VI.1 b zu einem neuen Satz zusammenfassen:
===== Satz VI.2: (Mittelsenkrechtenkriterium) =====
...

<br>