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=== Verkettung von drei Geradenspiegelungen ===
Aufgabe: Welche prinzipiellen Möglichkeiten bezüglich der Lage der Achsen gibt es bei der Verkettung von drei Geradenspiegelungen? (gerne auch als Bild).<br /><br />

===== Satz X.1: =====
:Die Verkettung von drei Geradenspiegelungen <math>S_{a}\circ S_{b} \circ S_{c}</math> an zueinander parallelen Geraden ''a'', ''b'' und ''c'' ist eine Geradenspiegelung an einer Geraden ''d'' mit <math>d || a </math> und <math>\left| ab \right| =\left| dc \right| </math>.<br /> 
Beweis:<br /><br />

=====Satz X.2: =====
:Die Verkettung von drei Geradenspiegelungen <math>S_{a}\circ S_{b} \circ S_{c}</math>, an drei Geraden ''a'', ''b'' und ''c'' die sich in einem Punkt ''S'' schneiden (kopunktal), ist eine Geradenspiegelung an einer Achse ''d'', die durch den Punkt ''S'' verläuft mit <math>\left|\angle ab\right| = \left|\angle dc\right| </math>.<br />
Beweis:<br /><br />

=====Definition X.1 (Schub- oder Gleitspiegelung)=====
Eine Schub- oder Gleitspiegelung ist eine Abbildung, die bei der Verkettung dreier Geradenspiegelungen <math>S_{a}\circ S_{b} \circ S_{c}</math>  entsteht, wenn die zwei Geraden ''a'' und ''b'' parallel zueinander und die dritte Gerade ''c'' senkrecht dazu steht.<br /><br />
Experimentieren Sie mit der nachfolgenden GeoGebra-Applikation. Welche Eigenschaften der Schubspiegelung entdecken Sie?<br /><br />
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=====Satz X.3:=====
Die Verkettung dreier Geradenspiegelungen, deren Achsen nicht alle parallel zueinander oder kopunktal sind, ist stets eine Schubspiegelung.<br />
Beweis:<br /><br />