Quelltext der Seite Wiederholung und Ergänzung Implikationen

== Wiederholung und Rückblick ==
Wie gehen von der folgenden Implikation aus:<br />
'''Wenn ein Viereck ein Quadrat ist, dann halbieren sich seine Diagonalen.'''<br />

Allgemein lässt sich eine Aussage "Wenn A dann B" schreiben als <math> A \Rightarrow B </math>. <br />
<math> A </math> ist dann Voraussetzung: Das betrachtete Viereck ist ein Quadrat.<br /> <math> B </math> ist Behauptung: Die Diagonalen des betrachteten Vierecks halbieren einander.<br />

Die Umkehrung zu einer Aussage vertauscht Voraussetzung und Behauptung.<br />
Die Umkehrung zu <math> A \Rightarrow B </math> ist also <math> B \Rightarrow A </math>.

Die Umkehrung zum Beispiel lautet:<br />
'''Wenn sich die Diagonalen eines Vierecks halbieren, dann ist das Viereck ein Quadrat.'''<br />

Aussagen können wahr oder falsch sein. <br />
Diese Umkehrung ist falsch, was sich leicht an einem Gegenbeispiel zeigen lässt:
 [[Bild:Raute2.gif|links]]
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
Nur wenn sowohl die Implikation als auch die dazugehörige Umkehrung wahr sind, lässt sich die Aussage als Äquivalenz <math>A \Leftrightarrow B</math> schreiben. <br />
Sprechweise: "<math>A</math> genau dann wenn <math>B</math>"<br /><br />
Im obigen Beispiel geht das NICHT!<br /><br />

Ist die folgende Aussage wahr?<br />
'''Wenn sich die Diagonalen eines Vierecks nicht halbieren, dann ist das Viereck kein Quadrat.'''<br /><br />
Diese Aussage ist die Kontraposition zur ursprünglichen Implikation.<br />

Allgemein: Zur Implikation <math> A \Rightarrow B </math> lautet die Kontraposition <math>\neg B\Rightarrow  \neg A </math>.<br />
Die Kontraposition ist gleichwertig zur ursprünglichen Implikation:<br />
<math> (A \Rightarrow B)  \Leftrightarrow  (\neg B\Rightarrow  \neg A) </math>.<br /><br />

== Grundlagen des Beweisens ==
Wie kann eine Implikation <math> A \Rightarrow B </math> bewiesen werden?<br />

# direkt
# indirekt