Quelltext der Seite Wurzel aus 2 ist irrational

==Satz: Die Wurzel aus 2 ist irrational==
Annahme: <math>\sqrt{2}</math> ist rational.<br />
d.h. <math>\sqrt{2}=\frac{p}{q}, p,q \in \mathbb{N}</math>.

Beweis durch Widerspruch. <br />
Annahme: <math>\sqrt{2}</math> = rational 

D.h. <math>\exists</math> p,q <math>\in</math> <math>\mathbb{N}</math> : <math>\frac{p}{q}</math> = <math>\sqrt{2}</math> , mit p,q sind teilerfremd. <br /> 

<math>\Rightarrow</math> <math>\frac{p^2}{q^2}</math> = 2 <br /> 
<math>\Rightarrow</math> <math>p^2</math> = <math>2q^2</math> <br />
<math>p^2</math> ist gerade. <math>\Rightarrow</math> p=2n, mit n <math>\in</math> <math>\mathbb{N}</math> <br />
<math>\Rightarrow</math> <math>(2n)^2</math> = <math>2q^2</math> <br />
<math>\Rightarrow</math> <math>4n^2</math> = <math>2q^2</math> <br />
<math>\Rightarrow</math> <math>2n^2</math> = <math>q^2</math> <br />
<math>\Rightarrow</math> q ist ebenfalls gerade <math>\Rightarrow</math> p und q sind nicht teilerfremd. <br />
<math>\Rightarrow</math> <math>\frac{p^2}{q^2}</math> ist kürzbar. <br />
<math>\Rightarrow</math> <math>\sqrt{2}</math> = irrational <br />