Version vom 1. Juni 2012, 13:49 Uhr

Aus der Vorlesung vom 15.05.2012

Inhaltsverzeichnis

1 Strecken, intuitiv
2 Längenmessung
- 2.1 Messen: Andere Länder andere Sitten
- 2.2 Die Idee der Längenmessung
3 Der Abstand zweier Punkte
4 Der Begriff der Strecke
- 4.1 Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke)
  - 4.1.1 Definition II.3 - (1. Vorschlag Kopernikus Strecke, der Endpunkte)
  - 4.1.2 Definition II.3 - (Vorschlag Kopernikus zweiter Versuch)
- 4.2 Anmerkung von Buchner zu Definition II.3 - (Vorschlag Kopernikus zweiter Versuch)
5 Halbgeraden bzw. Strahlen
- 5.1 So ist es gemeint
- 5.2 Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl)

Strecken, intuitiv

Punkte, Geraden und Ebenen können wir in unserer Geometrie nicht definieren. Für Strecken wird uns das gelingen.

Eine intuitive Vorstellung von Strecken haben wir schon: Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Diese Vorstellung gilt es nun zu präzisieren.

Grundlegend dafür, um was für eine konkrete Strecke es sich jeweils handelt scheint die Angabe zweier Punkte zu sein (kürzeste Verbindung zweier Punkte).

Das Attribut kürzeste deutet auf das Messen von Längen hin. Das Messen von Längen wird dann auch der Knackpunkt bezüglich einer Definition des Begriffs der Strecke sein.

Längenmessung

Messen: Andere Länder andere Sitten

Rory, ein irischer Schüler, wechselt für ein Jahr an die IGH im Hasenleiser. Die Beibehaltung gewisser Gewohnheiten aus Irland könnte für Rory in Deutschland Probleme mit sich bringen: In Irland schmeckt das Guinness besser und vor allem wird es in der Maßeinheit Pint ausgeschenkt. Ein Pint ist etwas mehr als ein halber Liter: 0,56826125 l.

Rory ist ein sehr ordentlicher Schüler und hat sein Schullineal aus Irland mitgebracht. Zum Messen würde dieses in Deutschland allerdings nur dann etwas nützen, wenn es über eine zweite Skale in cm verfügen würde.

Die Idee der Längenmessung

Strecken werden bereits in Klasse 1 gemessen. Was ist das eigentlich, das Messen von Strecken. Wie würden Sie es den Schülern der Klassenstufen für die Sie ausgebildet werden erklären? Ergänzen Sie hier:

Der Abstand zweier Punkte

Die ersten beiden Abstandsaxiome

Axiom II.1: (Abstandsaxiom)

Zu je zwei Punkten $\ A$ und $\ B$ gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl $\ d$ mit $d=0:\Longleftrightarrow A=B$ .

Definition II.1: (Abstand)

Der Abstand zweier Punkte $\ A$ und $\ B$ ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten $\ A$ und $\ B$ zugeordnet werden kann.
Schreibweise: $d = \left| AB \right|$ .

Axiom II.2:

Für zwei beliebige Punkte $\ A$ und $\ B$ gilt $\left| AB \right| = \left| BA \right|$ .

Die Dreiecksungleichung

Schüler entdecken die Dreiecksungleichung

Dreieckskonstruktionen sind seit jeher fester Bestandteil des Geometrieunterrichts in der Schule. Neben solchen allgemeinen Zielen wie Erziehung zur Exaktheit und Sauberkeit bei Konstruktionen, geht es bei diesen Aufgaben auch darum, dass die Schüler die Gesetzmäßigkeiten ihrer Umwelt durch eigene Tätigkeit selbst erfahren.

Die einfachsten Dreieckskonstruktionen sind die, bei denen die Längen der drei Seiten eines Dreiecks gegeben sind. In der Sprache der Abstände: Alle drei Abstände die die Eckpunkte des Dreiecks zueinander haben sind gegeben.

Abstände sind nach dem Abstandsaxiom reelle Zahlen. (Maßeinheiten wie m und cm sind in der „reinen“ Mathematik irrelevant.)

Der Lehrer, der Konstruktionsaufgaben auf das eigentliche Generieren einer Zeichnung durch die Schüler reduziert, verschenkt eine Reihe von Potenzen hinsichtlich verschiedenster Ziele des Mathematikunterrichts. Stellvertretend sei in diesem Zusammenhang das Begründen genannt.

Aus didaktischer Sicht werden Konstruktionsaufgaben zu einem bestimmten Problemkreis erst dann vollständig, wenn die Schüler sich sowohl mit Aufgaben mit mehreren Lösungsmöglichkeiten als auch mit unlösbaren Aufgaben auseinandersetzen müssen.

Experimentieren Sie mit dem folgenden Geogebraapplet und klassifizireren Sie die Typen von Konstruktionsaufgaben, die sich für Dreieckskonstruktionen nach SSS ergeben:

Das Axiom der Dreiecksungleichung

Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)

Falls $\operatorname{koll} \left( ABC \right)$ , dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind $\ A$ , $\ B$ und $\ C$ kollinear.

Übung zum Axiom

Welchen Teil des Axioms demonstriert das folgende Applet?

Definitionen und Sätze

Definition II.2: (Zwischenrelation)

Ein Punkt $\ B$ liegt zwischen zwei Punkten $\ A$ und $\ C$ , wenn gilt:

$\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|$ und
$\ A$ , $\ B$ und $\ C$ sind paarweise verschieden.

Schreibweise: $\operatorname{Zw} \left( A, B, C \right)$

Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Sätze:

Satz II.1

Aus $\operatorname{Zw} \left( A, B, C \right)$ folgt $\operatorname{Zw} \left( C, B, A \right)$ .

Beweis von Satz II.1

Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

Bewisschritt	Begründung
1) Zw (A, B, C)	Vor.
AB\| + \|BC\| = \|AC\|	1), Def. Zwischenrelation
BC\| + \|AB\| = \|AC\|)	2), Kommutativgesetz
CB\| + \|BA\| = \|CA\|	3), Axiom II/2
5) Zw (C, B, A)	4), Def. Zwischenrelation

--*osterhase* 14:39, 1. Jun. 2012 (CEST)

Satz II.2:

Aus $\operatorname{Zw} \left( A, B, C \right)$ folgt $\operatorname{koll} \left( A, B, C \right)$ .

Beweis von Satz II.2

Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

Bewisschritt	Begründung
1) \operatorname(Zw) (A, B, C)	Vor.
AB \right\| +\left\| BC \right\| =\left\| AC \right\|	1), Def. Zwischenrelation
3) \operatorname{koll}(A, B, C)	2), Axion II/2

--*osterhase* 14:49, 1. Jun. 2012 (CEST)

Satz II.3

Es sei $\operatorname{koll} \left( A, B, C \right)$ mit $\ A, B, C$ sind paarweise verschieden.
Dann gilt genau eine der Zwischenrelationen, d.h. entweder $\operatorname{Zw} \left( A, B, C \right)$ oder $\operatorname{Zw} \left( A, C, B \right)$ oder $\operatorname{Zw} \left( B, A, C \right)$ .

Beweis von Satz II.3:

Übungsaufgabe 5.1

Der Begriff der Strecke

Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke)

Es seien $\ A$ und $\ B$ zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)

Definition II.3 - (1. Vorschlag Kopernikus Strecke, der Endpunkte)

Es seien $\ A$ und $\ B$ zwei verschiedene Punkte einer Punktmenge. Wenn alle Elemente dieser Menge zwischen A und B liegen, dann sind A und B Endpunkte einer Strecke.--Kopernikus 19:04, 20. Mai 2012 (CEST)

Anmerkung von Buchner zur Definition von Kopernikus

Elemente, die gut an Ihrer Definition sind:

- zwei verschiedene Punkte

- Punktmenge

- Elemente, die zwischen A und B liegen

Was in Ihrere Definition nicht klar wird ist: Was ist denn jetzt eine Strecke? Sie haben Strecke nicht definiert, sondern nur Endpunkte einer Strecke. Das wäre erst der zweite Schritt. Versuchen Sie (oder jemand anderes), Schritt eins nachzuholen (das muss explizit dastehen, also z.B. "Die Strecke $\overline{AB}$ ist...")--Buchner 17:21, 21. Mai 2012 (CEST)

Definition II.3 - (Vorschlag Kopernikus zweiter Versuch)

(2.1 Vorschlag Kopernikus Strecke)

Die Strecke $\overline{AB}$ ist die Menge aller Punkte, die vereinigt mit A und B zwischen A und B liegen.--Kopernikus 15:52, 22. Mai 2012 (CEST)

(2.2 Vorschlag Kopernikus Endpunkte)
::(Achtung !!! Strecke muss hierbei bereits Def. sein)

Es sei $\ A$ und $\ B$ zwei verschiedene Punkte einer Strecke. Wenn alle Punkte dieser Strecke $\overline{AB}$ zwischen A und B liegen, dann sind A und B Endpunkte der Strecke $\overline{AB}$ .--Kopernikus 15:52, 22. Mai 2012 (CEST)

(2.3. Vorschlag Kopernikus Stecke und Endpunkte )

Die Strecke $\overline{AB}$ ist die Menge aller Punkte, die vereinigt mit A und B zwischen A und B liegen. A und B sind hierbei die Endpunkte.--Kopernikus 15:52, 22. Mai 2012 (CEST)

Anmerkung von Buchner zu Definition II.3 - (Vorschlag Kopernikus zweiter Versuch)

Ihr letzter Vorschlag gefällt mir am besten - man würde die Endpunkte nicht seperat definieren, sondern wie Sie es hier gemacht haben zur Definition der Strecke dazuschreiben. Der erste Satz ist noch etwas ungewöhnlich formuliert (was heißt "vereinigt mit A und B zwischen A und B?). Besser:

Definition II.3 (Strecke, Endpunkte einer Strecke)

Es seien A und B zwei verschiedene Punkte. Die Strecke $\overline{AB}$ ist die Vereinigung der Menge aller Punkte, die zwischen A und B liegen mit der Menge, die nur die Punkte A und B enthält. A und B heißen Endpunkte der Strecke $\overline{AB}$ .

Einfacher ist die formale Schreibweise:
Definition II.3 (Strecke, Endpunkte einer Strecke)

Es seien A und B zwei verschiedene Punkte. Unter der Strecke $\overline{AB}$ versteht man die folgende Punktmenge:

$\overline{AB} := \{P|\operatorname(Zw) (A, P, B) \} \cup \{A, B\}$ . A und B heißen Endpunkte der Strecke $\overline{AB}$ .

--Buchner 17:13, 23. Mai 2012 (CEST)

Definition II.4: (Länge einer Strecke)

Es seien $\ A$ und $\ B$ zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)

Vorschlag: Definition II.4: (Länge einer Strecke)

Es seien $\ A$ und $\ B$ zwei verschiedene Punkte. Wenn $\ A$ und $\ B$ die Endpunkte der Strecke $\overline{AB}$ sind, so ist ihr Abstand $\ d$ zueinander die Länge $\left| AB \right|$ der Strecke $\overline{AB}$ . --jaegert01 12:06, 25. Mai 2012 (CEST)

Zum Vorschlag von jaegert01: Definition II.4: (Länge einer Strecke)

Inhaltlich absolut richtig- sprachlich noch etwas zu holprig... Einfach nochmal versuchen!--Buchner 16:22, 31. Mai 2012 (CEST)

Halbgeraden bzw. Strahlen

So ist es gemeint

Hinweis: Klicken Sie auf das Symbol rechts oben (neu laden), damit alles richtig angezeigt wird.
Manipulieren Sie dann erst P und dann B und A.

Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl)

Definition (Halbgerade $AB^+$ ): (ergänzen Sie)

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 :: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)
+{| class="wikitable sortable"
+!Bewisschritt!!Begründung
+|-
+| 1) \operatorname(Zw) (A, B, C)  || Vor.
+|-
+| 2) \left| AB \right| +\left| BC \right| =\left| AC \right|  || 1), Def. Zwischenrelation
+|-
+| 3) \operatorname{koll}(A, B, C)   || 2), Axion II/2
+|}
+--[[Benutzer:*osterhase*|*osterhase*]] 14:49, 1. Jun. 2012 (CEST)
 ===== Satz II.3 =====

Abstand, Anordnung, Strecke SoSe12: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 1. Juni 2012, 13:49 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Strecken, intuitiv

Längenmessung

Messen: Andere Länder andere Sitten

Die Idee der Längenmessung

Der Abstand zweier Punkte

Die ersten beiden Abstandsaxiome

Axiom II.1: (Abstandsaxiom)

Definition II.1: (Abstand)

Axiom II.2:

Die Dreiecksungleichung

Schüler entdecken die Dreiecksungleichung

Das Axiom der Dreiecksungleichung

Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)

Übung zum Axiom

Definitionen und Sätze

Definition II.2: (Zwischenrelation)

Satz II.1

Beweis von Satz II.1

Satz II.2:

Beweis von Satz II.2

Satz II.3

Beweis von Satz II.3:

Der Begriff der Strecke

Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke)

Definition II.3 - (1. Vorschlag Kopernikus Strecke, der Endpunkte)

Definition II.3 - (Vorschlag Kopernikus zweiter Versuch)

Anmerkung von Buchner zu Definition II.3 - (Vorschlag Kopernikus zweiter Versuch)

Definition II.4: (Länge einer Strecke)

Vorschlag: Definition II.4: (Länge einer Strecke)

Zum Vorschlag von jaegert01: Definition II.4: (Länge einer Strecke)

Halbgeraden bzw. Strahlen

So ist es gemeint

Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl)

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