Halbebenen und das Axiom von Pasch SS 2012: Unterschied zwischen den Versionen
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− | ::Eine Gerade wird durch einen | + | ::Eine Gerade wird durch einen Punkt in zwei Halbgeraden eingeteilt.<br /> |
− | ::Eine Ebene wird durch eine | + | ::Eine Ebene wird durch eine Gerade in zwei Halbebenen eingeteilt. |
− | ::Eine Gerade ist ein | + | ::Eine Gerade ist ein eindimensionales Objekt.<br /> |
− | ::Eine Ebene ist ein | + | ::Eine Ebene ist ein zweidimensionales Objekt. |
− | ::Im Fall dieser Geradenteilung ist der Trenner ein | + | ::Im Fall dieser Geradenteilung ist der Trenner ein nulldimensionales geometrisches Objekt.<br /> |
− | ::Im Fall dieser Ebenenteilung ist der Trenner ein | + | ::Im Fall dieser Ebenenteilung ist der Trenner ein eindimensionales geometrisches Objekt. |
− | ::Wenn also n die Dimension des geometrischen Objekts ist, das geteilt wird, dann hat der Trenner die Dimension | + | ::Wenn also n die Dimension des geometrischen Objekts ist, das geteilt wird, dann hat der Trenner die Dimension n-1 . |
Geradenteilung: | Geradenteilung: |
Version vom 5. Juni 2012, 19:11 Uhr
Halbebenen und das Axiom von PaschHalbebenenAnalogiebetrachtungen
Die folgenden Lückentexte können Sie auch als Übungsblatt im pdf-Format herunterladen: Übungsblatt Halbgeraden/-ebenen Wir konstatieren:
Geradenteilung:
Ebenenteilung:
Definition des Begriffs der HalbebeneAlles hat zwei Seiten oder grundlegende Ideen der Beschaffenheit von EbenenOffene HalbebenenDie beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte Definition IV.1: (offene Halbebene)
HalbebenenVereinigt man die Menge der Punkte einer offenen Halbeben mit der Menge der Punkte der Trägergerade so erhält man eine Halbebene. Definition IV.2: (Halbebene)
Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: Definition IV.3: HalbraumGegeben sei eine Ebene E und ein Raum R, der E enthält. Die Punkte des Raumes, die nicht in E liegen, bilden zwei Mengen derart, dass gilt:
Das Axiom von Pasch
Axiom III.2: Das Axiom von Pasch
Konvexe PunktmengenDefinition IV.4: (konvexe Punktmenge)
Satz IV.2
Beweis von Satz IV.2trivial (Der Leser überzeuge sich davon) Satz IV.3
Beweis von Satz IV.3Es seien zu zeigen: Der Durchschnitt der beiden Mengen
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