Mittelpunkt einer Strecke und Axiom vom Lineal SoSe 12: Unterschied zwischen den Versionen
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| <math>\operatorname{Zw} \left( A, M, B \right)</math> und damit <math>M \in \overline{AB}</math> | | <math>\operatorname{Zw} \left( A, M, B \right)</math> und damit <math>M \in \overline{AB}</math> | ||
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| <math>\ \left| AM \right| + \left| MB \right| = \frac{\left| AB \right|}{2} + \left| MB \right| = \left| AB \right|</math> | | <math>\ \left| AM \right| + \left| MB \right| = \frac{\left| AB \right|}{2} + \left| MB \right| = \left| AB \right|</math> | ||
− | |Def. Zw., (I)-(IV) | + | |<span style="color: blue">Def. Zw., (I)-(IV)</span> |
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| <math>\left| MB \right| = \frac{\left| AB \right|}{2}</math> | | <math>\left| MB \right| = \frac{\left| AB \right|}{2}</math> | ||
− | | (V), Rechnen in R | + | | <span style="color: blue">(V), Rechnen in R</span> |
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| <math>\left| AM \right| = \left| MB \right|</math> | | <math>\left| AM \right| = \left| MB \right|</math> | ||
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| <math>\ M</math> ist der Mittelpunkt von <math>\overline{AB}</math> | | <math>\ M</math> ist der Mittelpunkt von <math>\overline{AB}</math> | ||
− | | (VII), Def. Mittelpunkt einer Strecke<br />--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 13:09, 1. Jun. 2012 (CEST) | + | | <span style="color: blue">(VII), Def. Mittelpunkt einer Strecke</span><br />--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 13:09, 1. Jun. 2012 (CEST) |
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+ | === Anmerkungen von Buchner zu den Begründungen von Tchu Tcha Tcha === | ||
+ | Vielen Dank für Ihre Ergänzungen. Gehen wir mal die Schritte nacheinander durch:<br /><br /> | ||
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+ | Schritt eins und zwei haben nichts mit dem Axiom vom Lineal zu tun. In Schritt zwei wird nur eine Zahl halbiert, hier reicht als Begründung "Rechnen in R". Welches Axiom und welche Definition wird in Schritt eins herangezogen?<br /> | ||
+ | Schritt drei haben Sie absolut richtig begründet.<br /> | ||
+ | In Schritt vier ist die Begründung nicht ganz ausreichend. Ziehen Sie zusätzlich ÜA 5.3 als Begründung heran. Können Sie nachvollziehen, warum hier ÜA 5.3 perfekt passt?<br /> | ||
+ | Die Begründungen für Schritt fünf, sechs und sieben sind absolut richtig.<br /> | ||
+ | Bei Schritt acht fehlt streng genommen noch Schritt 4 in der Begründung- dort steht, dass M zu <math>\overline{AB}</math> gehört.<br /><br /> | ||
+ | --[[Benutzer:Buchner|Buchner]] 11:56, 6. Jun. 2012 (CEST)<br /> | ||
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+ | Denke bei Schritt eins ist das Abstandsaxiom II.1 gesucht. | ||
+ | In Schritt vier muss <math>\operatorname(Zw) (M, A, B)</math> und<math>\operatorname(Zw) (A, B, M)</math> ausgeschlossen werden. | ||
+ | Daher ÜA 5.3, oder?!? Dürfte ich mich in der Klausur ebenfalls auf diese Aufgabe berufen oder müsste ich es noch einmal zeigen?? :-)<br /> | ||
+ | --[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 00:32, 15. Jun. 2012 (CEST) | ||
====== Der Eindeutigkeitsbeweis ====== | ====== Der Eindeutigkeitsbeweis ====== |
Aktuelle Version vom 15. Juni 2012, 00:32 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Der Mittelpunkt einer Strecke
Wir wissen nun, dass eine offene Strecke die Menge aller Punkte ist, die zwischen
und
liegen. Vereinigt man diese Menge mit der Menge der beiden Endpunkte
und
, so hat man die gesamte Strecke
. Zu unseren grundlegenden Vorstellungen von Strecken gehört, dass jede Strecke
einen Mittelpunkt
hat.
wäre der Punkt auf
, der sowohl zu
als auch zu
denselben Abstand
hat.
Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke)
- Wenn ein Punkt
der Strecke
zu den beiden Endpunkten A und B jeweils und denselben Abstand hat, so heißt M Mittelpunkt der Strecke
- Wenn ein Punkt
Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke)
- Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.
Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke
- Die Materie erscheint einsichtig und einfach. Übungsaufgabe?? Nichts ist einfach. Mit den bisher bereitgestellten axiomatischen Grundlagen unserer Geometrie wird es Ihnen nicht gelingen, etwa zu zeigen, dass jede Strecke einen Mittelpunkt besitzt.
Der Knackpunkt bezüglich des Nachweises der Existenz und Eindeutigkeit des Streckenmittelpunktes besteht darin, dass unsere derzeitige Theorie noch nicht genügend Punkte zu Verfügung stellt. Momentan muss unser Raum nicht mehr als 4 Punkte enthalten. Nach Axiom I.7 sind diese vier Punkte nicht komplanar, woraus folgt, dass je drei von ihnen nicht auf ein und derselben Geraden liegen. Damit könnte eine durch zwei verschiedene dieser vier Punkte eindeutig bestimmte Strecke gar keinen Mittelpunkt haben, denn dieser müsste entsprechend Definition III.1 bezüglich unserer zwei Endpunkte auf derselben Geraden liegen.
Es wird Zeit, die Anzahl Punkte unserer Theorie radikal zu erhöhen. Konzentrieren wir uns diesbezüglich zunächst auf einen Strahl . Nach unserer Vorstellung von Halbgeraden können wir je zwei Punkten von
genau eine nichtnegative reelle Zahl (den Abstand der beiden Punkte) zuordnen. Nach unseren Vorstellungen etwa von Zahlenstrahl gibt es auch zu jeder nicht negativen reellen Zahl d genau einen Punkt
auf
, der zu
gerade den Abstand
hat. Bei Konstruktionsaufgaben finden wir diese Idee im Zusammenhang mit dem Streckenantragen wieder.
Streckenantragen
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![]() |
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Das Axiom vom Lineal
Wir sind überzeugt davon, dass unsere Konstruktion entsprechend des vorangegangenen Abschnitts immer funktioniert und der so gewonnene zweite Endpunkt unserer konstruierten Strecke eindeutig bestimmt ist. Die Idee des Streckenantragens müssen wir jetzt jedoch axiomatisch fordern bzw. begründen.
Axiom III.1: (Axiom vom Lineal)
- Zu jeder nicht negativen reelen Zahl
gibt es auf jedem Strahl
genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von
den Abstand
hat.
- Zu jeder nicht negativen reelen Zahl
Zum Sprachgebrauch. Wir werden in kommenden Beweisen einzelne Beweisschritte häufig mit dem Axiom vom Lineal begründen müssen. Wir werden in einem solchen Fall ggf. auch mit der Existenz und Eindeutigkeit des Streckenantragens begründen. Letzteres ist schließlich nichts anderes als der Inhalt des Axioms vom Lineal.
Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke
Nachdem das Axiom vom Lineal formuliert wurde, wird es uns gelingen Satz III.1 zu beweisen.
Jetzt wirklich: Beweis von Satz III.1
noch einmal der Satz:
- Jede Strecke hat einen und nur einen Mittelpunkt.
Es sind also zwei Beweise zu führen:
- Existenzbeweis: Jede Strecke hat einen Mittelpunkt.
- Eindeutigkeitsbeweis: Jede Strecke hat nicht mehr als einen Mittelpunkt.
(Highlanderbeweis: Es kann nur einen geben.)
Der Existenzbeweis
- Es sei
eine Strecke
- Behauptung:
- Es gibt einen Punkt auf der Strecke
der zu den Endpunkten
und
jeweils ein und denselben Abstand hat.
- Behauptung:
- Die Behauptung noch mal:
.
- Die Behauptung noch mal:
Der Beweis:
Beweisschritt | Begründung | |
---|---|---|
(I) | ![]() |
Axiom vom Lineal |
(II) | ![]() |
(I), Axiom vom Lineal |
(III) | ![]() |
(II), Axiom vom Lineal |
(IV) | ![]() ![]() |
(I)-(III) |
(V) | ![]() |
Def. Zw., (I)-(IV) |
(VI) | ![]() |
(V), Rechnen in R |
(VII) | ![]() |
(I)-(III), (VI) |
(VIII) | ![]() ![]() |
(VII), Def. Mittelpunkt einer Strecke --Tchu Tcha Tcha 13:09, 1. Jun. 2012 (CEST) |
Anmerkungen von Buchner zu den Begründungen von Tchu Tcha Tcha
Vielen Dank für Ihre Ergänzungen. Gehen wir mal die Schritte nacheinander durch:
Schritt eins und zwei haben nichts mit dem Axiom vom Lineal zu tun. In Schritt zwei wird nur eine Zahl halbiert, hier reicht als Begründung "Rechnen in R". Welches Axiom und welche Definition wird in Schritt eins herangezogen?
Schritt drei haben Sie absolut richtig begründet.
In Schritt vier ist die Begründung nicht ganz ausreichend. Ziehen Sie zusätzlich ÜA 5.3 als Begründung heran. Können Sie nachvollziehen, warum hier ÜA 5.3 perfekt passt?
Die Begründungen für Schritt fünf, sechs und sieben sind absolut richtig.
Bei Schritt acht fehlt streng genommen noch Schritt 4 in der Begründung- dort steht, dass M zu gehört.
--Buchner 11:56, 6. Jun. 2012 (CEST)
Denke bei Schritt eins ist das Abstandsaxiom II.1 gesucht.
In Schritt vier muss und
ausgeschlossen werden.
Daher ÜA 5.3, oder?!? Dürfte ich mich in der Klausur ebenfalls auf diese Aufgabe berufen oder müsste ich es noch einmal zeigen?? :-)
--Tchu Tcha Tcha 00:32, 15. Jun. 2012 (CEST)
Der Eindeutigkeitsbeweis
Übungsaufgabe
- Hinweis: Nehmen Sie an, eine Strecke
hätte zwei Mittelpunkte
und
.