Basiswinkelsatz und Mittelsenkrechtenkriterium (SoSe 12): Unterschied zwischen den Versionen

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Beweis: Übungsaufgabe
 
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Version vom 21. Juni 2012, 17:54 Uhr


Inhaltsverzeichnis

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Der Basiswinkelsatz

Gleichschenklige Dreiecke

Definition VII.4 : (gleichschenkliges Dreieck)

Das können sie selbst. Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter.

Übungsaufgabe

Der Basiswinkelsatz

Satz VII.5: Basiswinkelsatz
In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander.
Der folgende Beweis ist für die Schule ok. hier jedoch nicht zugelassen

Es sei \overline{ABC} ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. o.B.d.A. seien die Seiten \ a und \ b kongruent zueinander:

Basiswinkelsatz00.png

Nach der Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke existiert der Mittelpunkt \ M der Dreiecksseite \ c.

Basiswinkelsatz01.png

Wir werden jetzt zeigen, dass die beiden Teildreiecke \overline{AMC} und \overline{BMC} kongruent zueinander sind:


Basiswinkelsatz02.png

Nachweis von \overline{AMC} \tilde {=} \overline{BMC}:


Nr. Skizze Beweisschritt Begründung
(1) Basiswinkelsatz03.png \ a \tilde {=} \ b Voraussetzung
(2) Basiswinkelsatz04.png \overline{AM} \tilde {=} \overline{MB} \ M ist Mittelpunkt von \ c
(3) Basiswinkelsatz05.png \overline{MC} \tilde {=} \overline{MC} trivial (oder Reflexivität der Kongruenzrelation)
(4) Basiswinkelsatz06.png \overline{AMC} \tilde {=} \overline{BMC} (1), (2), (3), SSS

Wegen (4) gilt nun auch \alpha \tilde {=} \beta.

w.z.b.w.

Ein schöner einfacher Beweis, leider hat er hier keine Gültigkeit. Warum?

Ein im Rahmen unserer Theorie korrekter Beweis des Basiswinkelsatzes

Probieren Sie ruhig weitere Varianten: Mittelsenkrechte ... . Letztlich hilft nur die Winkelhalbierende. Damit wir uns auf die wesentliche Beweisidee des Basiwinkelsatzes konzentrieren können, schicken wir ein Lemma voraus.

Lemma 1
Die Winkelhalbierende \ SW^+ eines Winkels \ \angle ASB schneidet die Strecke \overline{AB} in genau einem Punkt \ P.


Lemma01.png

Beweis von Lemma 1

später (Wir haben wichtigeres zu tun.) googeln Sie: "Geschichten aus dem Inneren Gieding" und Sie werden fündig.

Beweis des Basiswinkelsatzes

Das Mittelsenkrechtenkriterium

Satz VII.6: (Mittelsenkrechtenkriterium)
Ein Punkt \ P gehört genau dann zur Mittelsenkrechten der Strecke \overline{AB}, wenn \overline{AP} \tilde {=} \overline{BP} gilt.



Bezug zur Schule:

Konstruktion der Mittelsenkrechten einer Strecke \overline{AB} mittels Zirkel und Lineal:

Konstruktionsvorschrift:

gegeben: Strecke \overline{AB}

gesucht: \ m , die Mittelsenkrechte von \overline{AB}


Schrittnr. Konstruktionsschritt
1. Zeichne einen Kreis um \ A, dessen Radius \ r länger als die Hälfte der Länge der Strecke \overline{AB} ist.
2. Behalte \ r bei und zeichne einen Kreis um \ B.
3. Der Kreis um \ A schneidet den Kreis um \ B in den beiden Schnittpunkten \ S_1 und \ S_2.
4. Zeichne die Gerade \ S_1S_2. Sie ist die gesuchte Mittelsenkrechte von \overline{AB}.

Frage: Ist dieser Algorithmus korrekt? Anders gefragt: Ist \ S_1S_2 wirklich die Mittelsenkrechte von \overline{AB}?

Wir beweisen die Korrektheit der Konstruktion indem wir folgendes zeigen:

Satz VII.6 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von \overline{AB}gehört.)
Wenn ein Punkt \ P zu den Endpunkten der Strecke \overline{AB} jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von \overline{AB}.
Beweis von Satz VII.6 a

Übungsaufgabe (Das Video hilft)


Nach dem Beweis von Satz VII.6 a wissen wir, dass die beiden Punkte \ S_1 und \ S_2 Punkte der Mittelsenkrechten von \overline{AB} sind.

Die Wahl des Radius \ r der beiden Kreise in unserer Konstruktion war beliebig für \ | r | > \frac{1}{2} | \overline{AB} |. Wir stellen uns jetzt die frage, ob wir jeden beliebigen Punkt unserer Mittelsenkrechten als Schnittpunkt zweier entsprechender Kreise konstruieren könnten.

Die Frage anders formuliert:

Hat jeder Punkt der Mittelsenkrechten von \overline{AB} zu den Punkten \ A und \ B jeweils ein und denselben Abstand?

Noch anders formuliert:

Hat jeder Punkt der Mittelsenkrechten einer Strecke \overline{AB} notwendigerweise zu \ A und zu \ B ein und denselben Abstand?

Der folgende Satz VII.6 b beantwortet diese beiden Fragen postiv:

Satz VII.6 b (notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von \overline{AB} gehört)
Wenn ein Punkt \ P zur Mittelsenkrechten der Strecke \overline{AB} gehört, dann hat er zu den Punkten \ A und \ B ein und denselben Abstand.

Bemerkung zu der Idee der notwendigen Bedingung:

Wir wissen, eine Implikation aus a folgt b bedeutet, dass a eine hinreichende Bedingung für b ist. Warum kennzeichnet eine Implikation jetzt auf einmal eine notwendige Bedingung?
Natürlich kennzeichnet die Implikation VII. 6 b auch eine hinreichende Bedingung. Dafür dass ein Punkt \ P zu zwei verschiedenen Punkten \ A und \ B ein und denselben Abstand hat ist es hinreichend, dass \ P auf der Mittelsenkrechten von \overline{AB} liegt.
Zur Implikation VII.6 b äquivalent ist deren Kontraposition:
Wenn ein Punkt \ P zu den Punkten \ A und \ B nicht ein und denselben Abstand hat, dann ist er auch nicht ein Punkt der Mittelsenkrechten von \overline{AB}.


Beweis: Übungsaufgabe

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