Winkelmessung SS 2012: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 28. Juni 2012, 17:08 Uhr

Inhaltsverzeichnis

1 Das Winkelmaß
- 1.1 Was bedeutet es, die Größe eines Winkels zu messen?
- 1.2 Das Winkelmaßaxiom
  - 1.2.1 Axiom IV.1 (Winkelmaßaxiom)
  - 1.2.2 Definition V.5: (Größe eines Winkels)
2 Winkelkonstruktion
- 2.1 Existenz und Eindeutigkeit des Winkelantragens
  - 2.1.1 Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom)
3 Winkeladdition
- 3.1 Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)
- 3.2 Satz V.2
4 Rechte Winkel
5 Die Relation Senkrecht auf verschiedenen Punktmengen
6 Einige Lemmata zu Winkeln

Das Winkelmaß

Was bedeutet es, die Größe eines Winkels zu messen?

Länge einer Strecke	Größe eines Winkels
nichtnegative reelle Zahl	reelle Zahl zwischen 0 und 180

Das Winkelmaßaxiom

Axiom IV.1 (Winkelmaßaxiom)

Zu jedem Winkel $\alpha$ gibt es genau eine reelle Zahl $\omega$ zwischen 0 und 180.

Definition V.5: (Größe eines Winkels)

Die Zahl $\omega$ , die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel $\alpha$ eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von $\alpha$ genannt.
In Zeichen: $\omega = \left| \alpha \right|$ .

Winkelkonstruktion

Existenz und Eindeutigkeit des Winkelantragens

Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom)

Es sei $\ g \equiv SA$ eine Gerade in der Ebene $\ \varepsilon$ . Zu jeder reellen Zahl $\ \omega$ mit $\ 0 < \omega < 180$ gibt es in jeder der beiden durch $\ g$ bestimmten Halbebenen der Ebene $\ \varepsilon$ genau einen Strahl $\ SB^+$ mit $\ \left| \omega \right| = \left| \angle ASB \right|$ .

Winkeladdition

Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)

Satz V.2

Wenn der Punkt $P$ im Inneren des Winkels $\angle ASB$ und nicht auf einem der Schenkel des Winkels $\angle ASB$ liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel $\angle ASP$ und $\angle PSB$ jeweils kleiner als die Größe des Winkels $\angle ASB$ .

==== Beweis von Satz V.2 ====

Lösung von Nummero6/Tchu Tcha Tcha:

Vor:
$\angle ASB$ , P liegt im I von $\angle ASB$ , P liegt nicht auf einem der Schenkel von $\angle ASB$
Beh:

 oder

Ann:

oBdA:

Nr.	Beweisschritt	Begründung
1)	$\angle ASB$	Vor
2)	Es gibt einen Winkel $\angle ASP$ und einen Winkel $\angle PSB$	laut Voraussetzung (oder muss man zuerst das Winkelkonstruktionsaxiom IV.2 anwenden??)
3)	$\left\| \angle ASP \right\| + \left\| \angle PSB \right\| = \left\| \angle ASB \right\|$	Axiom IV.3 (Winkeladditionsaxiom), (1), (2)
4)	Widerspruch zur Annahme	(3)
5)	Behauptung stimmt	(4)

qed
--Tchu Tcha Tcha 17:01, 10. Jun. 2012 (CEST)

Rechte Winkel

Definition V.6 : (Rechter Winkel)

Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.

Definition V.7 : (Supplementärwinkel)

Zwei Winkel heißen supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.

Axiom IV.4: (Supplementaxiom)

Nebenwinkel sind supplementär.

Satz V.3 : (Existenz von rechten Winkeln)

Es gibt rechte Winkel.

Beweis von Satz V.3 :

Wir haben zu zeigen, dass wenigstens ein rechter Winkel existiert.

Nach Definition V.6 ist ein rechter Winkel ein solcher, der das selbe Maß wie einer seiner Nebenwinkel hat.

Das Supplementaxiom (Axiom IV.4) besagt, dass die Summe der Größen zweier Nebenwinkel in jedem Fall 180 beträgt.

Wenn es denn einen rechten Winkel gäbe, so müsste dessen Maß die Hälfte von 180 sein.

Wenn es uns gelänge nachzuweisen, dass es einen Winkel der Größe 90 gibt, so wären wir eigentlich mit unserem Beweis fertig.

In der Tat gibt es einen derartigen Winkel: Das Axiom IV.2 (Winkelkonstruktionsaxiom) besagt, dass es in jeder der beiden Halbebenen einer Ebene bezüglich etwa der Geraden $\ SA$ zu jeder beliebigen Zahl zwischen 0 und 180 genau einen Winkel $\ \angle ASP$ gibt, dessen Größe gerade die Zahl zwischen 0 und 180 ist. Die Zahl 90 ist größer als 0 und kleiner als 180 und demzufolge als Winkelmaß zulässig.

Satz V.4 :

Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.

Beweis von Satz V.4 :

Schreiben Sie das Skript selbst. Das Video ist als Hilfe zu verstehen.

Die Relation Senkrecht auf verschiedenen Punktmengen

Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden)

Es seien $g$ und $h$ zwei Geraden. Wenn sich $g$ und $h$ schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden $g$ und $h$ senkrecht aufeinader.

In Zeichen: $g \perp h$ (in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular)

Bemerkung: Testen Sie ob die Definition korrekt ist: Warum muss nicht gefordert werden, dass die beiden Geraden komplanar sind?

Frage zur Def. V.8

Warum rede ich im Plural wenn es um die Winkel geht? Es reicht doch einer. " ....und bei diesem Schnitt ein rechter Winkel entsteht." oder?
--Kopernikus 20:40, 26. Jun. 2012 (CEST)

Antwort M.G.

Testen Sie Ihr Verständnis für den bestimmten und den unbestimmten Artikel.

Stellen wir uns vor es gäbe einen und nur einen rechten Winkel, der beim Schnitt zweier zueinander senkrechter Geraden entsteht. Wäre es dann falsch, in der Definition zu fordern, es entstehen rechte Winkel? Sicherlich nicht. Wir könnten genauso fordern, dass rechte Winkel entstehen. Rechte Winkel zu fordern schließt ein, dass eventuell genau ein rechter Winkel existiert. Vielleicht das Ganze noch mal anders: Zwei Geraden $g$ und $h$ stehen senkrecht zueinander, wenn bei ihrem Schnitt ein rechter Winkel entsteht. Diese Definition ist dasselbe wie: Zwei Geraden $g$ und $h$ stehen senkrecht zueinander, wenn bei ihrem Schnitt rechte Winkel entstehen. Wenn mehrere entstehen, entsteht wenigstens einer. Es wäre was anderes, wenn wir fordern würden, dass genau ein rechter Winkel entsteht. Jetzt gäbe es keine zueinander senkrechten Geraden --*m.g.* 22:22, 26. Jun. 2012 (CEST)

Ja, also ist die Definition von Kopernikus 20:40, 26. Jun. 2012 (CEST) mit ".. und bei diesem Schnitt ein rechter Winkel entsteht." auch korrekt. Seine Aussage ist doch, dass ein rechter Winkel entsteht.. Es ist aber nicht ausgeschlossen, dass es auch 2, 3 oder 4 sein können. Das ist doch dieselbe Geschichte, wie mit der Aussage, dass ich "ein Bier" getrunken habe.. Könnten ja auch mehr gewesen sein.. Ich werde mir morgen, bei einem deutschen Sieg, auch ein Bier gönnen.. :-)
Es wäre nur nicht korrekt, wenn man schreiben würde, dass bei dem Schnitt "genau ein rechter Winkel" entsteht. Dann gäbe es keinen "Spielraum".
--Tchu Tcha Tcha 17:08, 27. Jun. 2012 (CEST)

Definition V.9: (senkrecht für Strecken und Geraden)

Eine Gerade $g$ und eine Strecke $\overline{AB}$ stehen senkrecht zueinander, wenn ... .

: Eine Gerade $g$ und eine Strecke $\overline{AB}$ stehen senkrecht zueinander, wenn sich die Strecke $\overline{AB}$ und die Gerade $g$ schneiden und dabei rechte Winkel entstehen. --Kopernikus 20:34, 26. Jun. 2012 (CEST)

Definition V.10: (senkrecht für Strecken)

Zwei Strecken $\overline{AB}$ und $\overline{PQ}$ stehen senkrecht zueinander, wenn ... .

: Eine Stecke $\overline{AB}$ und eine Strecke $\overline{PQ}$ stehen senkrecht zueinander, wenn sich die Strecke $\overline{AB}$ und die Stecke $\overline{PQ}$ schneiden und dabei rechte Winkel entstehen.
--Kopernikus 20:56, 26. Jun. 2012 (CEST)

Definition V.11: (senkrecht für Ebenen und Geraden)

Eine Gerade $g$ steht senkrecht auf einer Ebene $\varepsilon$ wenn, ... .

Eine Gerade $g$ steht senkrecht auf einer Ebene $\varepsilon$ , wenn die Gerade $g$ die Ebene $\varepsilon$ in geanu einem Punkt $P$ schneidet und zu zwei nichtidentischen Geraden die durch $P$ gehen und in der Ebene $\varepsilon$ liegen orthogonal ist.
--Kopernikus 20:56, 26. Jun. 2012 (CEST)+--Snooth 18:07, 28. Jun. 2012 (CEST)

Definition V.12: (senkrecht für Ebenen)

Eine Ebene $\varepsilon$ steht senkrecht auf einer Ebene $\alpha$ , wenn ...

...die Schnittmenge der beiden Ebenen eine Gerade (g) ist, $S$ $\in$ Gerade (g), $P_1$ $\in$ $\varepsilon$ , $P_2$ $\in$ $\alpha$ und $\left| \angle P_1SP_2 \right| = 90$ gilt.
--Tchu Tcha Tcha 22:03, 26. Jun. 2012 (CEST)

Eigenschaften der Relation senkrecht

Satz V.5: (Existenz und Eindeutigkeit der Senkrechten zu einer Geraden auf einem Punkt dieser Geraden)

Es sei $g$ eine Gerade der Ebene $\varepsilon$ . Ferner sei $P$ ein Punkt auf $g$ . In der Ebene $\varepsilon$ gibt es genau eine Gerade $s$ , die durch $P$ geht und senkrecht auf $g$ steht.

Beweis von Satz V.5

Aufgabe_Tutorium

Einige Lemmata zu Winkeln

Die Lemmata noch mal in einer eigenen Datei: Lemmata zu Winkeln

Vorbemerkungen

Unter einem Lemma versteht der Mathematiker einen Hilfssatz. Wir geben hier die folgenden Hilfssätze an, die wir im weiteren verwenden werden, ohne sie hier bewiesen zu haben. Die Beweise dieser Lemmata sind nicht wirklich schwer aber unerquicklich.

Wer sich für die Beweise interessiert findet sie hier:

[1]

Lemma W/1

Gegeben seien drei nicht kollineare Punkte $A, B, S$ . Wenn $P$ ein Punkt der offenen Strecke $\overline{AB}$ ist, dann liegt der Strahl $SP^+$ vollständig im Inneren von $\angle ASB$ .

Lemma W/2

Liegt ein Punkt $P$ im Inneren eines Winkels mit dem Scheitel $S$ , dann liegt der gesamte Strahl $SP^+$ im Inneren dieses Winkels.

Lemma W/3

Es seien $A,B,S$ drei nichtkollineare Punkte. WEenn der Punkt $P$ im Inneren des Winkels $\angle ASB$ und nicht auf den Schenkeln dieses Winkels liegt, dann schneidet der Strahl $SP^+$ die offene Strecke $\overline{AB}$ .

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 ===== Definition V.11: (senkrecht für Ebenen und Geraden)=====
 ::Eine Gerade <math>g</math> steht senkrecht auf einer Ebene <math>\varepsilon</math> wenn, ... .
-Eine Gerade <math>g</math> steht senkrecht auf einer Ebene <math>\varepsilon</math>, wenn die Gerade <math>g</math> die Ebene <math>\varepsilon</math> in geanu einem Punkt <math>P</math> schneidet und zu zwei nichtidentischen Geraden die durch P gehen und in der Ebene <math>\varepsilon</math> liegen orthogonal ist.  ''<br />
+Eine Gerade <math>g</math> steht senkrecht auf einer Ebene <math>\varepsilon</math>, wenn die Gerade <math>g</math> die Ebene <math>\varepsilon</math> in geanu einem Punkt <math>P</math> schneidet und zu zwei nichtidentischen Geraden die durch <math>P</math> gehen und in der Ebene <math>\varepsilon</math> liegen orthogonal ist.  ''<br />
 --[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 20:56, 26. Jun. 2012 (CEST)+--[[Benutzer:Snooth|Snooth]] 18:07, 28. Jun. 2012 (CEST)