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Version vom 4. Juni 2010, 18:02 Uhr

Inhaltsverzeichnis

1 Formatierungshilfen und -erinnerungen
2 Eine kleine Zusammenfassung

Formatierungshilfen und -erinnerungen

Schritt	Begründung
1)	Voraussetzung
2)	(1)
3)
4)
5)
6)

Eine kleine Zusammenfassung

Klasseneinteilung

Es sei $M$ eine Menge und $K=\{ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...\}$ eine Menge von Teilmengen von $M$ .

$K$ ist eine Klasseneinteilung von $M$ , wenn gilt:

notwendige Bedingung 1: Keine der Teilmengen ist die leere Menge.
notwendige Bedingung 2: Je zwei Teilmengen sind disjunkt.
notwendige Bedingung 3: Die Vereinigung aller Teilmengen ergibt wieder die Menge $M$ .

Mengen sind disjunkt, wenn die Schnittmenge dieser Mengen die leere Menge ist, bzw. die Mengen keine gemeinsamen Objekte besitzen.

Relationen

Definition: (n-stellige Relation)

Es seien $M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n$ Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus $M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times M_n$ ist eine $\ n-$ stellige Relation.

Definition: (Äquivalenzrelation)

Eine Relation $\ R$ in einer Menge $\ M$ heißt Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

Axiomatik

Axiome

AXIOM I/0

Geraden und Ebenen sind Punktmengen.

AXIOM I/1(Axiom von der Geraden)

Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.

AXIOM I/2

Zu jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte, die dieser Geraden angehören.

AXIOM I/3

Es gibt wenigstens 3 Punkte, die nicht kollinear sind.

Axiom I/4

Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.

Axiom I/5

Wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E.

Axiom I/6

Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.

Axiom I/7

Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.

Definitionen

Definition I/2: (kollinear)

Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.

Schreibweise: koll(A, B, C, ...) Sollten die Punkte A, B, C einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(A, B, C)

Definition I/3: (Inzidenz Punkt Ebene)

Ein Punkt P inzidiert mit einer Ebene E, wenn P ein Element der Ebene E ist.

Definition I/4: (Inzidenz Gerade Ebene)

Eine Gerade g gehört zu einer Ebene E, wenn jeder Punkt von g zu E gehört.

Definition I/5: (Raum)

Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.

Definition I/6: (komplanar)

Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. Schreibweise: komp(A, B, C, D, ...) (analog nkomp(..) für nicht komplanar)

Definition I/7: (komplanar für Geraden)

Zwei Geraden g und h sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.

Schreibweise: komp(g, h)

Definition I/8: (Geradenparallelität)

Zwei Geraden g und h sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.

In Zeichen: g||h.

Definition I/9: (windschief )

Zwei Geraden g und h sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.

Definition I/10: (parallel für Ebenen)

Zwei Ebene E₁ und E₂ sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.

Sätze

Satz I.1

Es seien g und h zwei Geraden. Wenn g und h nicht identisch sind, haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.

Satz I.2: (Kontraposition von Satz I.1)

Es seien g und h zwei Geraden.

Wenn g und h mehr als einen Punkt gemeinsam haben, so sind g und h identisch.

Satz I.3: (Existenz von drei Geraden)

Es existieren mindestens drei paarweise verschiedene Geraden.

Satz I.5:

Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.

Satz I.6:

Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

Satz I.7:

Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.

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+== Formatierungshilfen und -erinnerungen ==
 [http://wiki.zum.de/Hilfe:TeX Hilfe zu LaTeX]<br />
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+== Eine kleine Zusammenfassung ==
+=== Klasseneinteilung ===
 :Es sei <math>M</math> eine Menge und <math>K=\{ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...\} </math> eine Menge von Teilmengen von <math>M</math>.
 :<math>K</math> ist eine Klasseneinteilung von <math>M</math>, wenn gilt:
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 :# notwendige Bedingung 2: Je zwei Teilmengen sind disjunkt.
 :# notwendige Bedingung 3: Die Vereinigung aller Teilmengen ergibt wieder die Menge <math>M</math>.
-::Mengen sind disjunkt, wenn die Schnittmenge dieser Mengen die leere Menge ist, bzw. die Mengen keine gemeinsamen Objekte besitzen.
+::Mengen sind disjunkt, wenn die Schnittmenge dieser Mengen die leere Menge ist, bzw. die Mengen keine gemeinsamen Objekte besitzen.<br />
+=== Relationen ===
+<u>Definition: (n-stellige Relation)</u>
+:Es seien <math> M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n</math> Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus  <math> M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times  M_n </math> ist eine <math>\ n-</math>stellige Relation.<br />
+<u>Definition: (Äquivalenzrelation)</u>
+:Eine Relation <math>\ R</math> in einer Menge <math>\ M</math> heißt ''Äquivalenzrelation'', wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.<br />
+=== Axiomatik ===
+==== Axiome ====
+=====AXIOM I/0=====
+:Geraden und Ebenen sind Punktmengen.
+=====AXIOM I/1(Axiom von der Geraden)=====
+:Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.
+=====AXIOM I/2=====
+:Zu jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte, die dieser Geraden angehören.
+=====AXIOM I/3=====
+:Es gibt wenigstens 3 Punkte, die nicht kollinear sind.
+=====Axiom I/4=====
+:Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.
+=====Axiom I/5=====
+:Wenn zwei Punkte einer Geraden ''g'' in einer Ebene ''E ''liegen, so gehört g zu ''E''.
+=====Axiom I/6=====
+:Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.
+=====Axiom I/7=====
+:Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.
+==== Definitionen ====
+=====Definition I/2: (kollinear)=====
+:Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
+:Schreibweise: koll(''A, B, C,'' ...) Sollten die Punkte ''A, B, C'' einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(''A, B, C)''
+=====Definition I/3: (Inzidenz Punkt Ebene)=====
+:Ein Punkt ''P'' inzidiert mit einer Ebene ''E'', wenn ''P'' ein Element der Ebene ''E'' ist.
+=====Definition I/4: (Inzidenz Gerade Ebene)=====
+:Eine Gerade ''g'' gehört zu einer Ebene ''E'', wenn jeder Punkt von ''g'' zu ''E'' gehört.
+=====Definition I/5: (Raum)=====
+:Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.
+=====Definition I/6: (komplanar)=====
+:Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. Schreibweise: komp(''A'', ''B'', ''C, D, ...'') (analog nkomp(..) für nicht komplanar)
+=====Definition I/7: (komplanar für Geraden)=====
+:Zwei Geraden'' g ''und ''h'' sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.
+:Schreibweise: komp(g, h)
+=====Definition I/8: (Geradenparallelität)=====
+:Zwei Geraden ''g'' und ''h'' sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.
+:In Zeichen: ''g''||''h''.
+=====Definition I/9: (windschief )=====
+:Zwei Geraden ''g'' und ''h'' sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.
+=====Definition I/10: (parallel für Ebenen)=====
+:Zwei Ebene ''E''<sub>1</sub> und ''E''<sub>2</sub> sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.
+==== Sätze ====
+=====Satz I.1=====
+:Es seien ''g'' und ''h'' zwei Geraden. Wenn ''g'' und ''h'' nicht identisch sind, haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.
+=====Satz I.2: (Kontraposition von Satz I.1)=====
+:Es seien ''g'' und ''h'' zwei Geraden.
+:Wenn ''g'' und ''h'' mehr als einen Punkt gemeinsam haben, so sind ''g'' und ''h'' identisch.
+===== Satz I.3: (Existenz von drei Geraden)=====
+:Es existieren mindestens drei paarweise verschiedene Geraden.
+=====Satz I.5:=====
+:Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.
+=====Satz I.6:=====
+:Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.
+=====Satz I.7:=====
+:Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.