Lösung von Aufgabe 7.3: Unterschied zwischen den Versionen
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Der Punkt <math>\ B</math> möge die Strecke <math>\overline{AC}</math> derart in die Teilstrecken <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{BC}</math> teilen, dass <math>\left| AB \right| > \left| BC \right|</math> gilt. Beweisen Sie:<br /> | Der Punkt <math>\ B</math> möge die Strecke <math>\overline{AC}</math> derart in die Teilstrecken <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{BC}</math> teilen, dass <math>\left| AB \right| > \left| BC \right|</math> gilt. Beweisen Sie:<br /> | ||
Wenn <math>\frac{ \left| AC \right| }{\left| AB \right| } = \frac{\left| AB \right| }{\left| BC \right| }</math>, dann <math>\frac{ \left| AC \right| }{\left| AB \right|} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}</math>. | Wenn <math>\frac{ \left| AC \right| }{\left| AB \right| } = \frac{\left| AB \right| }{\left| BC \right| }</math>, dann <math>\frac{ \left| AC \right| }{\left| AB \right|} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}</math>. | ||
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+ | <u>Voraussetzung:</u> | ||
+ | :1) <math>\frac{|AC|}{|AB|} = \frac{|AB|}{|BC|}</math> | ||
+ | :2) <math>\ |AB| + |BC| = |AC|</math> | ||
+ | <u>Behauptung:</u> | ||
+ | :<math>\frac{|AC|}{|AB|} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}</math> | ||
+ | <u>Beweis:</u> | ||
+ | :(2) <math>\ |AB| + |BC| = |AC|</math> | ||
+ | :<math>\Rightarrow \ \ |BC| = |AC| - |AB|</math> | ||
+ | :eingesetzt in (1) folgt daraus | ||
+ | :<math>\frac{|AC|}{|AB|} = \frac{|AB|}{|AC| - |AB|} \ \ \ \ \ | \ \cdot |AB| \cdot(|AC| - |AB|)</math> | ||
+ | :<math>\Rightarrow \ \ |AC| \cdot (|AC| - |AB|) = |AB|^2 \ \ \ \ \ | \ -|AB|^2</math> | ||
+ | :<math>\Rightarrow \ \ |AC|^2 - |AB| \cdot |AC| - |AB|^2 = 0</math> | ||
+ | :Mit der p,q-Formel folgt daraus | ||
+ | :<math>|AC|_{1/2} = \frac{|AB|}{2} \pm \sqrt{\frac{|AB|^2}{4} + |AB|^2}</math> | ||
+ | :Die 2. Lösung mit negativem Vorzeichen fällt weg. | ||
+ | :<math>\Rightarrow \ \ |AC| = \frac{|AB|}{2} + \sqrt{ \frac{5 \cdot |AB|^2}{4} }</math> | ||
+ | :<math>\Rightarrow \ \ |AC| = \frac{|AB|}{2} + \frac{|AB|}{2} \cdot \sqrt{5}</math> | ||
+ | :<math>\Rightarrow \ \ |AC| = \frac{|AB|}{2} \cdot ( 1 + \sqrt{5})</math> | ||
+ | :<math>\Rightarrow \ \ |AC| = |AB| \cdot \frac{ 1 + \sqrt{5} }{2} \ \ \ \ \ | \ : |AB|</math> | ||
+ | :<math>\Rightarrow \ \ \frac{|AC|}{|AB|} = \frac{ 1 + \sqrt{5} }{2}</math> | ||
+ | :q.e.d --[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 17:05, 10. Jun. 2010 (UTC) |
Version vom 10. Juni 2010, 19:05 Uhr
Der Punkt möge die Strecke derart in die Teilstrecken und teilen, dass gilt. Beweisen Sie:
Wenn , dann .
Voraussetzung:
- 1)
- 2)
Behauptung:
Beweis:
- (2)
- eingesetzt in (1) folgt daraus
- Mit der p,q-Formel folgt daraus
- Die 2. Lösung mit negativem Vorzeichen fällt weg.
- q.e.d --Sternchen 17:05, 10. Jun. 2010 (UTC)