Kreise 2012 13: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 24. Oktober 2012, 10:33 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Aufgaben zum Einstieg

Aufgabe 1

Lassen Sie die folgenden Punktmengen in der obigen Geogebraapplikation grafisch darstellen. Um was für geometrische Objekte handelt es ich in jedem Fall? Begründen Sie Ihre Antwort.

  1. \left\{P\left(x_P|y_P\right)|x_P^2+y_P^2=1, x_P,x_P \in \mathbb{R} \right\}
  2. \left\{P\left(x_P|y_P\right)|\left(x_P-3\right)^2+\left(y_P-2\right)^2=5^2, x_P,y_P \in \mathbb{R}\right\}

Aufgabe 2

Lassen Sie die folgenden Kreise mittels Geoegebra grafisch darstellen, indem Sie jeweils eine entsprechende Gleichung in die Eingabezeile eintragen.

  1. Mittelpunkt: M(0|0) Radius: r=5
  2. Mittelpunkt: A(2|2) Radius: r=4

Kreise in der synthetischen Geometrie

Vereinbarung

Alle unsere folgenden Betrachtungen beziehen sich auf die Geometrie in der Ebene.

Kreisdefinition

Definition

Es seien M ein Punkt und r eine positive reelle Zahl. Unter dem Kreis mit dem Mittelpunkt M und dem radius r versteht man ...

Abstände von Punkten



Wir beziehen uns auf die obigen Punkte A\left(x_A,y_A\right) und B\left(x_B,y_B\right).
Der Punkt C ist der Schnittpunkt der Senkrechten durch A auf die x-Achse mit der Senkrechten von B auf die y-Achse.
Der Punkt C hat damit die Koordinaten \left(x_A-x_B|y_A-y_B\right).
Das Dreieck \overline{ABC} ist rechtwinklig. Nach dem Satz des Pythagoras gilt:
(I) |AB|^2=|AC|^2+|BC|^2
Unter Berücksichtigung der Koordinaten von A, B, C schreibt sich (I) wie folgt:
(II) |AB|^2=\left(x_A-x_B\right)^2+\left(y_A-y_B\right)^2

Definition

|AB|=\sqrt{\left(x_A-x_B\right)^2+\left(y_A-y_B\right)^2}

Analytische Beschreibung von Kreisen mittels des Satzes von Pythagoras

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