Aktuelle Version vom 1. November 2012, 08:19 Uhr

Inhaltsverzeichnis

1 Aufgaben zum Einstieg
- 1.1 Aufgabe 1
- 1.2 Aufgabe 2
2 Kreise in der synthetischen Geometrie
- 2.1 Vereinbarung
- 2.2 Kreisdefinition
3 Abstände von Punkten
4 Analytische Beschreibung von Kreisen mittels des Satzes von Pythagoras
- 4.1 Kreis in Mittelpunktslage
- 4.2 allgemeine Lage
5 DerAlgorithmus von Bresenham

Aufgaben zum Einstieg

Aufgabe 1

Lassen Sie die folgenden Punktmengen in der obigen Geogebraapplikation grafisch darstellen. Um was für geometrische Objekte handelt es ich in jedem Fall? Begründen Sie Ihre Antwort.

$\left\{P\left(x_P|y_P\right)|x_P^2+y_P^2=1, x_P,x_P \in \mathbb{R} \right\}$
$\left\{P\left(x_P|y_P\right)|\left(x_P-3\right)^2+\left(y_P-2\right)^2=5^2, x_P,y_P \in \mathbb{R}\right\}$

Aufgabe 2

Lassen Sie die folgenden Kreise mittels Geoegebra grafisch darstellen, indem Sie jeweils eine entsprechende Gleichung in die Eingabezeile eintragen.

Mittelpunkt: $M(0|0)$ Radius: $r=5$
Mittelpunkt: $A(2|2)$ Radius: $r=4$

Kreise in der synthetischen Geometrie

Vereinbarung

Alle unsere folgenden Betrachtungen beziehen sich auf die Geometrie in der Ebene.

Kreisdefinition

Definition

Es seien $M$ ein Punkt und $r$ eine positive reelle Zahl. Unter dem Kreis mit dem Mittelpunkt $M$ und dem radius $r$ versteht man ...

Abstände von Punkten

Wir beziehen uns auf die obigen Punkte $A\left(x_A,y_A\right)$ und $B\left(x_B,y_B\right)$ .
Der Punkt $C$ ist der Schnittpunkt der Senkrechten durch $A$ auf die x-Achse mit der Senkrechten von $B$ auf die y-Achse.
Der Punkt $C$ hat damit die Koordinaten $\left(x_A-x_B|y_A-y_B\right)$ .
Das Dreieck $\overline{ABC}$ ist rechtwinklig. Nach dem Satz des Pythagoras gilt:
(I) $|AB|^2=|AC|^2+|BC|^2$
Unter Berücksichtigung der Koordinaten von $A, B, C$ schreibt sich (I) wie folgt:
(II) $|AB|^2=\left(x_A-x_B\right)^2+\left(y_A-y_B\right)^2$

Abstand zweier Punkte:

$\|AB\|=\sqrt{\left(x_A-x_B\right)^2+\left(y_A-y_B\right)^2}$

Analytische Beschreibung von Kreisen mittels des Satzes von Pythagoras

Kreis in Mittelpunktslage

Kreis $k$ in Mittelpunktslage, Radius:r

Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): k=\left{A\left(x_A\|y_A\right)\|x_A^2+y_A^2=r^2\right}

allgemeine Lage

DerAlgorithmus von Bresenham

@@ Zeile 29: / Zeile 29: @@
 (I) <math>|AB|^2=|AC|^2+|BC|^2</math><br />
 Unter Berücksichtigung der Koordinaten von <math>A, B, C</math> schreibt sich (I) wie folgt:<br />
-(II) <math>|AB|^2=\left(x_A-x_B\right)^2+\left(y_A-y_B\right)^2</math>
+(II) <math>|AB|^2=\left(x_A-x_B\right)^2+\left(y_A-y_B\right)^2</math><br /><br />
-{{Definition|1=<math>|AB|=\sqrt{\left(x_A-x_B\right)^2+\left(y_A-y_B\right)^2}</math>}}
+Abstand zweier Punkte:
-==Analytische Beschreibung von Kreisen mittels des Satzes von Pythagoras==
+{| class="wikitable"
+| <math>|AB|=\sqrt{\left(x_A-x_B\right)^2+\left(y_A-y_B\right)^2}</math>
+|-
+|}
+=Analytische Beschreibung von Kreisen mittels des Satzes von Pythagoras=
+==Kreis in Mittelpunktslage==
 <ggb_applet width="1031" height="697"  version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "true" useBrowserForJS = "false" allowRescaling = "true" />
@@ Zeile 45: / Zeile 55: @@
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+==allgemeine Lage==
+=DerAlgorithmus von Bresenham=
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Kreise 2012 13: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 1. November 2012, 08:19 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Aufgaben zum Einstieg

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Kreise in der synthetischen Geometrie

Vereinbarung

Kreisdefinition

Abstände von Punkten

Analytische Beschreibung von Kreisen mittels des Satzes von Pythagoras

Kreis in Mittelpunktslage

allgemeine Lage

DerAlgorithmus von Bresenham

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