Serie 2 (WS 12 13: Unterschied zwischen den Versionen
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+ | Weil fast alle Hörer der Vorlesung diese wenigstens zum zweiten mal hören, wollte ich die Übungsaufgaben variieren und dem Kenntnistand anpassen. Aufgaben ausdenken ist ein kreativer Prozess und dauert seine Zeit. Ich bitte die Verspätung zu entschuldigen und habe als Wiedergutmachung die Aufgaben extra noch mal in TeX konvertiert und hier als PDF <document>Serie_2_12_13.pdf</document> abgelegt. Über eine [[Rückkopplung]] , wie Sie den Schwierigkeitsgrad der Aufgaben einschätzen, würde ich mich freuen. Viel Spaß beim Lösen der Aufgaben.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:15, 4. Nov. 2012 (CET) | ||
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(I) Wenn sich in einem Viereck die Diagonalen halbieren, dann ist das Viereck ein Parallelogramm.<br /> | (I) Wenn sich in einem Viereck die Diagonalen halbieren, dann ist das Viereck ein Parallelogramm.<br /> | ||
− | (a) Nennen Sie die Voraussetzung und die Behauptung der Implikation (I). | + | (a) Nennen Sie die Voraussetzung und die Behauptung der Implikation (I). |
(b) Bilden Sie die Umkehrung der Implikation (I).<br /> | (b) Bilden Sie die Umkehrung der Implikation (I).<br /> | ||
(c) Bilden Sie die Kontraposition der Implikation (I).<br /> | (c) Bilden Sie die Kontraposition der Implikation (I).<br /> | ||
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==Aufgabe 2.3== | ==Aufgabe 2.3== | ||
− | Es gibt wahre Implikationen, deren Umkehrung nicht wahr ist. Formulieren Sie eine solche. | + | Es gibt wahre Implikationen, deren Umkehrung nicht wahr ist. Formulieren Sie eine solche.<br /><br /> |
− | + | Beispiel:<br /><br /> | |
+ | Es seien <math>a, b, t</math> natürliche Zahlen.<br /> | ||
+ | Es gilt:<br /> | ||
+ | <math>t|a \wedge t|b \Rightarrow t|(a+b)</math><br /><br /> | ||
+ | Es gilt nicht:<br /> | ||
+ | <math>t|(a+b) \Rightarrow t|a \wedge t|b</math><br /><br /> | ||
[[Lösung Aufgabe 2.3 WS_12_13]] | [[Lösung Aufgabe 2.3 WS_12_13]] | ||
==Aufgabe 2.4== | ==Aufgabe 2.4== | ||
− | Frau Schultze-Kröttendörfer hat mit ihrer 9a den Satz des Pythagoras behandelt. In der folgenden Stunde möchte sie überprüfen, ob die Schüler der 9a die Aussage des Satzes wirklich verstanden haben. Hierzu lässt sie die Schüler u.a. | + | Frau Schultze-Kröttendörfer hat mit ihrer 9a den Satz des Pythagoras behandelt. In der folgenden Stunde möchte sie überprüfen, ob die Schüler der 9a die Aussage des Satzes wirklich verstanden haben. Hierzu lässt sie die Schüler u.a. die folgende Aufgabe bearbeiten: |
− | + | ---- | |
− | + | ||
+ | '''Rechtwinklig oder nicht?'''<br /> | ||
+ | Gegeben seien Dreiecke mit den folgenden Seitenlängen: | ||
{| class="wikitable" | {| class="wikitable" | ||
!Seitenlängen!!Dreieck 1!!Dreieck 2!!Dreieck 3!!Dreieck 4!!Dreieck 5 | !Seitenlängen!!Dreieck 1!!Dreieck 2!!Dreieck 3!!Dreieck 4!!Dreieck 5 | ||
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| b || 4 cm || 3,61 cm ||2 cm || 4,5 cm || 12 cm | | b || 4 cm || 3,61 cm ||2 cm || 4,5 cm || 12 cm | ||
|- | |- | ||
− | | c || 5 cm || 3 cm || 4 cm || | + | | c || 5 cm || 3 cm || 4 cm || 5 cm || 13 cm |
|} | |} | ||
+ | ''Welche dieser Dreiecke sind mit Sicherheit nicht rechtwinklig? Begründe deine Entscheidungen.'' | ||
+ | ---- | ||
+ | (a) Kommentieren Sie diese Schüleraufgabe aus fachmathematischer Sicht unter Verwendung der Begriffe Implikation und Kontraposition.<br /> | ||
+ | (b) Wir unterstellen, dass die Schüler der 9a bis dato nur den Satz des Pythagoras kennen. Wegen zu vieler unbezahlter Vertretungsstunden ist Frau Schultze-Kröttendörfer überlastet. Infolge dieser Überlastung ist Frau Schultze-Kröttendörfer beim Entwurf der Frage zur obigen Aufgabe unkonzenriert und formuliert diese wie folgt:<br /> | ||
+ | ''Nenne alle Dreiecke der obigen Tabelle, die rechtwinklig sind. Begründe deine Entscheidungen.'' <br /> | ||
+ | Begründen Sie, warum die Schüler die Aufgabe jetzt nicht lösen könnten. Verwenden Sie in Ihrer Begründung den Begriff des Kriteriums.<br /><br /> | ||
+ | [[Lösung Aufgabe 2.4 WS_12_13]] | ||
+ | |||
+ | ==Aufgabe 2.5== | ||
+ | Der Satz des Pythagoras sei bewiesen. Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen:<br /> | ||
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+ | * Dem Punkt <math>A</math> liegt die Seite <math>a</math> gegenüber, dem Punkt <math>B</math> die Seite<math>b</math> und dem Punkt <math>C</math> die Seite c. | ||
+ | * <math>\alpha = \angle CAB, \beta = \angle ABC, \gamma = \angle ACB</math>. | ||
+ | |||
+ | Wir gehen davon aus, dass <math>\overline{ABC}</math> rechtwinklig ist, wobei <math>\gamma</math> der rechte Winkel ist. <math>h=\overline{CL}</math> sei das Lot von <math>C</math> auf <math>c</math>. Der Fußpunkt <math>L</math> des Lotes von <math>C</math> auf <math>c</math> teilt die Hypotenuse <math>c</math> in die beiden Abschnitte <math>q=\overline{AL}</math> und <math>p=\overline{LB}</math>.<br /><br /> | ||
+ | |||
+ | Beweisen Sie den Höhensatz von Euklid:<br /><br /> | ||
+ | <math>h^2=p \cdot q</math> | ||
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+ | [[Lösung Aufgabe 2.5 WS_12_13]] | ||
Aktuelle Version vom 7. November 2012, 00:33 Uhr
Aufgaben zu Sätzen und Beweisen Teil 1Aufgabe 2.1Der Begriff Parallelogramm sei als Viereck mit zwei Paaren paralleler Seiten definiert. Wir betrachten die folgende Implikation (I): (I) Wenn sich in einem Viereck die Diagonalen halbieren, dann ist das Viereck ein Parallelogramm. (a) Nennen Sie die Voraussetzung und die Behauptung der Implikation (I).
(b) Bilden Sie die Umkehrung der Implikation (I). Aufgabe 2.2Der Satz des Pythagoras lautet: (a) Formulieren Sie den Satz des Pythagoras in Wenn-Dann. Aufgabe 2.3Es gibt wahre Implikationen, deren Umkehrung nicht wahr ist. Formulieren Sie eine solche. Aufgabe 2.4Frau Schultze-Kröttendörfer hat mit ihrer 9a den Satz des Pythagoras behandelt. In der folgenden Stunde möchte sie überprüfen, ob die Schüler der 9a die Aussage des Satzes wirklich verstanden haben. Hierzu lässt sie die Schüler u.a. die folgende Aufgabe bearbeiten: Rechtwinklig oder nicht?
Welche dieser Dreiecke sind mit Sicherheit nicht rechtwinklig? Begründe deine Entscheidungen. (a) Kommentieren Sie diese Schüleraufgabe aus fachmathematischer Sicht unter Verwendung der Begriffe Implikation und Kontraposition. Aufgabe 2.5Der Satz des Pythagoras sei bewiesen. Es sei
Wir gehen davon aus, dass Beweisen Sie den Höhensatz von Euklid:
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