Lösung von Aufgabe 5.2 S (WS 12 13): Unterschied zwischen den Versionen
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| (d) || Mit dem von Ihnen ergänzten Modell haben Sie gezeigt, dass das Axiom I.0 unabhängig von den Axiomen I.1 bis I.7 ist. Warum? | | (d) || Mit dem von Ihnen ergänzten Modell haben Sie gezeigt, dass das Axiom I.0 unabhängig von den Axiomen I.1 bis I.7 ist. Warum? | ||
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Version vom 24. November 2012, 15:25 Uhr
Aufgabe 5.2
Gegeben seien eine rote Kugel aus Knete (), eine blaue Kugel aus Knete (
), eine grüne Kugel aus Knete (
) und eine schwarze Kugel aus Knete (
). Aus einem Mikadospiel wurde jeweils genau ein Repräsentant der folgenden Stäbchenart entnommen: Mikado, Mandarin, Bonzen und Samurai.
Wir betrachten das folgende Modell für die Inzidenz:
- Menge aller Punkte
- Menge aller Geraden
Die Inzidenzrelation interpretieren wir wie folgt: Ein Modellpunkt inziert mit einer Modellgeraden, wenn der Modellpunkt auf die Modellgerade gesteckt wurde.
Wir lassen die Modellpunkte mit den Modellgeraden jetzt wie folgt inzidieren:
- R und G inzidieren mit Mikado
- G und B inzidieren mit Mandarin
- B und R inzidieren mit Bonzen
- R und K inzidieren mit Samurai
- G und K inzidieren mit Kuli
(a) | Fertigen Sie eine Skizze für dieses Modell an bzw. stellen Sie ein Foto von einem real gebauten Modell hier ein. |
(b) | Nennen Sie drei verschiedene Gründe, warum dieses Modell kein Modell für die Inzidenzaxiome des Raumes ist. |
(c) | Ergänzen Sie das Modell Sie derart, dass die Inzidenzaxiome I.1 bis I.7 erfüllt sind. |
(d) | Mit dem von Ihnen ergänzten Modell haben Sie gezeigt, dass das Axiom I.0 unabhängig von den Axiomen I.1 bis I.7 ist. Warum? |
(e) | Beweisen Sie: Wählt man zu unseren Knetekugeln als Modellgeraden Stäbchen eines originalen Mikadospiels derart, dass sich alle Geraden paarweise unterscheiden, so kann man kein Modell für die Inzidenzaxiome des Raumes bauen. |