Lösung von Aufgabe 4: Unterschied zwischen den Versionen
*m.g.* (Diskussion | Beiträge) (→spezielle Voraussetzung) |
*m.g.* (Diskussion | Beiträge) (→Behauptung) |
||
| Zeile 38: | Zeile 38: | ||
=== Behauptung === | === Behauptung === | ||
| + | Je zwei der drei Punkte <math>\ A, B, C</math> sind nicht identisch. | ||
| + | |||
| + | Andere Formulierungen: | ||
| + | |||
| + | # <math>\ A \not\equiv B \not\equiv C \not\equiv A</math> (Überlegen Sie, warum einer der drei Punkte hier zweimal genannt werden muss.) | ||
| + | # <math>\forall X, Y \in \mathcal{M} : X \not\equiv Y</math> (<math>\mathcal{M}</math> sie die Menge der Punkte <math>\ A, B, C</math>) | ||
=== Negation der Behauptung === | === Negation der Behauptung === | ||
Version vom 14. Juni 2010, 10:24 Uhr
Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.
- Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien
, 
und 
drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn , und … , dann … .“
- Beweisen Sie Satz I indirekt.
- Bilden Sie die Kontraposition von Satz I.
- Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I.
- Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I.
- Gilt auch die Umkehrung von Satz I?
Inhaltsverzeichnis |
Lösung:
Teilaufgabe 1
Es seien 
, 
und 
drei Punkte.
Wenn , und kollinear sind , dann sind je zwei der Punkte , und nicht identisch.
Andere Formulierung: 
Teilaufgabe 2: Indirekter Beweis der Implikation
Beweisprinzip
Wir nehmen an, dass bei wahrer Voraussetzung die Behauptung nicht gilt. Anders ausgedrückt: Wir negieren die Behauptung, bleiben aber dabei, dass die Voraussetzung wahr ist.
Bemerkung nebenbei: Es wäre sinnvoll, wenn sowas in Ihrem Glossar stehen würde. Dann bräuchte man jeweils nur einen Link zu setzen.
Voraussetzungen
allgemeine Voraussetzung
sind drei Punkte
Bemerkung: Diese Voraussetzung möge ab sofort allem, was wir hier formulieren vorangestellt sein. Um uns auf das Wesentliche konzentrieren zu können, werden wir diese Voraussetzung nicht mehr explizit erwähnen.
spezielle Voraussetzung
Die drei Punkte sind nicht kollinear.
Andere Formulierungen:
- Es gibt keine Gerade, die alle drei Punkte enthält. (Übersetzung: nicht kollinear)
-
-
-
( 
sei die Menge aller Geraden unserer Theorie)
-
Behauptung
Je zwei der drei Punkte 
sind nicht identisch.
Andere Formulierungen:
-
(Überlegen Sie, warum einer der drei Punkte hier zweimal genannt werden muss.)
-
(
sie die Menge der Punkte )
Negation der Behauptung
vorangegangene Diskussionen bzw. Lösungsvorschläge
1. Es seien , und drei Punkte. Wenn , und nicht kollinear sind , dann sind sie paarweise verschieden.
2. Voraussetzung: Es seien , und drei Punkte mit nkoll(, , ).
Annahme: identisch o.B.d.A.
| Schritt | Begründung |
| 1) Durch die Punkte und geht genau eine Gerade g. 2) identisch => Element g 3) Element g => koll(, ,) 4) Widerspruch zur Voraussetzung |
1) Axiom I/1 2) Identität 3) Definition: (kollinear) |
3. Sind drei Punkte nicht paarweise verschieden, so sind sie kollinear.
5. Sind drei Punkte paarweise verschieden, so sind sie nicht kollinear.
6. Nein.
4. Voraussetzung: , und sind nicht paarweise verschieden.
Annahme: nkoll (, , )
I. durch die Punkte und geht genau eine Gerade g. ->Axiom I/1
II. ist kein Element von g -> Annahme
III. nicht identisch und nicht identisch -> I. und II.
IV. Widerspruch zur Voraussetzung
