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==Aufgabe 4.4==
 
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Zeigen Sie, dass die Menge <math>P_{2}=\{p|p(x)=a_{2}+x^2+a_{1}x+a_{0};</math> mit <math> a_{0},a_{1},a_{2} \in \mathbb{R} \}</math> der Polynome höchstens 2. Grades mit der folgend definierten Verknüpfungen  <math> + </math> und <math>\cdot</math> für beliebige <math>p, q \in P</math> mit<math> p(x)=a_{2}+x^2+a_{1}x+a_{0}</math> und <math>q(x)=b_{2}+x^2+b_{1}x+b_{0}</math> sowie <math>\lambda \in \mathbb{R}</math> ein Vektorraum ist:
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Zeigen Sie, dass die Menge <math>P_{2}=\{p|p(x)=a_{2}+x^2+a_{1}x+a_{0};</math> mit <math> a_{0},a_{1},a_{2} \in \mathbb{R} \}</math> der Polynome höchstens 2. Grades mit der folgend definierten Verknüpfungen  <math> + </math> und <math>\cdot</math> für beliebige <math>p, q \in P</math> mit<math> p(x)=a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}</math> und <math>q(x)=b_{2}x^2+b_{1}x+b_{0}</math> sowie <math>\lambda \in \mathbb{R}</math> ein Vektorraum ist:
  
 
<math>(p+q)(x):= p(x)+ q(x)=(a_{2}+b_{2})x^2+(a_{1}+b_{1})x+(a_{0}+b_{0})</math>,
 
<math>(p+q)(x):= p(x)+ q(x)=(a_{2}+b_{2})x^2+(a_{1}+b_{1})x+(a_{0}+b_{0})</math>,

Version vom 6. Dezember 2012, 14:06 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Pfeilklassen und \mathbb{R}Vektorräume

Aufgabe 4.1

Ein Vektor \vec{v} wird durch einen Pfeil \vec{AB} repräsentiert. Geben Sie \vec{v} als Zahlentripel an.

a) A(-8,5,12), B(-5,7,-11)

b) A(5,6,7), B(-3,9,-4)

Aufgabe 4.2

Gegeben ist eine Verschiebung \vec{v} des Raumes durch einen Verschiebungspfeil \vec{PP'} mit P(2,1,3) und P'(5,3,-1).

a) Geben Sue den Verschiebungsvektor \vec{v} als Zahlentripel an.

b) Geben Sie die Koordinaten der Bildpunkte der Punkte A(3,-2,4) und B(3.5,2.5,-5) bei der Verschiebung \vec{v} an.

Aufgabe 4.3

Durch \vec{v_{1}}=\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} und \vec{v_{2}}=\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} werden zwei Verschiebungen des Raumes beschrieben.

a) Der Punkt P(-3,-3,3) wird zunächst um \vec{v_{1}} und dann um \vec{v_{2}} verschoben. Geben Sie die Koordinaten der entsprechenden Bildpunkt P' und P'' an.

b) Geben Sie den Verschiebungsvektor \vec{v} an, der die Nacheinanderausfürhugn der Verschiebungen \vec{v_{1}} und \vec{v_{2}} beschreibt.


Aufgabe 4.4

Zeigen Sie, dass die Menge P_{2}=\{p|p(x)=a_{2}+x^2+a_{1}x+a_{0}; mit a_{0},a_{1},a_{2} \in \mathbb{R} \} der Polynome höchstens 2. Grades mit der folgend definierten Verknüpfungen + und \cdot für beliebige p, q \in P mit p(x)=a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0} und q(x)=b_{2}x^2+b_{1}x+b_{0} sowie \lambda \in \mathbb{R} ein Vektorraum ist:

(p+q)(x):= p(x)+ q(x)=(a_{2}+b_{2})x^2+(a_{1}+b_{1})x+(a_{0}+b_{0}),

(\lambda\cdot p)(x):= \lambda \cdot p(x)= \lambda a_{2}x^2+\lambda a_{1}x+\lambda a_{0}

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