Streckenmittelpunkte und das Axiom vom Lineal WS 12 13: Unterschied zwischen den Versionen
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(→Der Eindeutigkeitsbeweis) |
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== Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke) == | == Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke) == | ||
− | {{Definition|Mittelpunkt einer Strecke <br />Wenn ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> zu den beiden Endpunkten <math>A</math> und <math>B</math> jeweils und denselben Abstand hat, so heißt <math>M</math> Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>}} | + | {{Definition|Mittelpunkt einer Strecke <br />Wenn ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> zu den beiden Endpunkten <math>A</math> und <math>B</math> jeweils ein und denselben Abstand hat, so heißt <math>M</math> Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>}} |
− | + | = Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke) = | |
::Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt. | ::Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt. | ||
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Zum Sprachgebrauch. Wir werden in kommenden Beweisen einzelne Beweisschritte häufig mit dem Axiom vom Lineal begründen müssen. Wir werden in einem solchen Fall ggf. auch mit der Existenz und Eindeutigkeit des Streckenantragens begründen. Letzteres ist schließlich nichts anderes als der Inhalt des Axioms vom Lineal. | Zum Sprachgebrauch. Wir werden in kommenden Beweisen einzelne Beweisschritte häufig mit dem Axiom vom Lineal begründen müssen. Wir werden in einem solchen Fall ggf. auch mit der Existenz und Eindeutigkeit des Streckenantragens begründen. Letzteres ist schließlich nichts anderes als der Inhalt des Axioms vom Lineal. | ||
− | = Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke, Beweis von Satz III.1 = | + | = Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke,<br /> Beweis von Satz III.1 = |
Nachdem das Axiom vom Lineal formuliert wurde, wird es uns gelingen Satz III.1 zu beweisen. | Nachdem das Axiom vom Lineal formuliert wurde, wird es uns gelingen Satz III.1 zu beweisen. | ||
− | + | ||
noch einmal der Satz: | noch einmal der Satz: | ||
::Jede Strecke hat einen und nur einen Mittelpunkt. | ::Jede Strecke hat einen und nur einen Mittelpunkt. | ||
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# Eindeutigkeitsbeweis: Jede Strecke hat nicht mehr als einen Mittelpunkt.<br />(Highlanderbeweis: Es kann nur einen geben.) | # Eindeutigkeitsbeweis: Jede Strecke hat nicht mehr als einen Mittelpunkt.<br />(Highlanderbeweis: Es kann nur einen geben.) | ||
− | + | ==Der Existenzbeweis == | |
:Es sei <math>\overline{AB}</math> eine Strecke | :Es sei <math>\overline{AB}</math> eine Strecke | ||
:::<u>Behauptung:</u><br /> | :::<u>Behauptung:</u><br /> | ||
Zeile 103: | Zeile 103: | ||
<br /> | <br /> | ||
− | + | == Der Eindeutigkeitsbeweis == | |
Übungsaufgabe<br /> | Übungsaufgabe<br /> | ||
:Hinweis: Nehmen Sie an, eine Strecke <math>\overline{AB}</math> hätte zwei Mittelpunkte <math>\ M_1 </math> und <math>\ M_2 </math>. | :Hinweis: Nehmen Sie an, eine Strecke <math>\overline{AB}</math> hätte zwei Mittelpunkte <math>\ M_1 </math> und <math>\ M_2 </math>. | ||
− | <br /> | + | <br />den ersten Schritt kann man doch mit dem ersten Abstandsaxiom begründen. |
<!--- Das, was hier drunter steht muss stehen bleiben, also oberhalb dieses Kommentars Änderungen einfügen ---> | <!--- Das, was hier drunter steht muss stehen bleiben, also oberhalb dieses Kommentars Änderungen einfügen ---> | ||
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[[Category:Einführung_S]] | [[Category:Einführung_S]] |