Gruppen, abelsche Gruppen 2012 12: Unterschied zwischen den Versionen

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4. Inverse Elemente: <math>D_{0} \cdot D_{0}= D_{0}</math> und <math>D_{180} \cdot D_{180} = D_{0}</math> und <math>S_{m} \cdot S_{m} = D_{0}</math> und <math>S_{n} \cdot S_{n} = D_{0}</math><br /><br />
 
4. Inverse Elemente: <math>D_{0} \cdot D_{0}= D_{0}</math> und <math>D_{180} \cdot D_{180} = D_{0}</math> und <math>S_{m} \cdot S_{m} = D_{0}</math> und <math>S_{n} \cdot S_{n} = D_{0}</math><br /><br />

Version vom 12. Dezember 2012, 10:30 Uhr


Inhaltsverzeichnis

Beispiele für endliche Gruppen

Restklassen modulo 4

\mathbb{Z}_4:=\left\{ \overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3} \right\}
mit
\overline{0}:=\left\{..., -8, -4, 0, 4, 8, ...\right\} (Menge aller durch 4 teilbaren ganzen Zahlen),
\overline{1}:=\left\{..., -7, -3, 1, 5, 9, ...\right\} (Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 1 lassen),
\overline{2}:=\left\{..., -6, -2, 2, 6, 10, ...\right\} (Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 2 lassen),
\overline{3}:=\left\{..., -5, -1, 3, 7, 11, ...\right\} (Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 3 lassen),

Wir definieren auf \mathbb{Z}_4 eine Verknüpfung \oplus wie folgt:
\forall \overline{a}, \overline{b} \in \mathbb{Z}_4: \overline{a}\oplus \overline{b} := \overline{a+b}

Die Struktur \left(\mathbb{Z}_4, \oplus\right) ist eine Gruppe:

  1. Die Verknüpfung \oplus ist auf der Menge \mathbb{Z}_4 abgeschlossen, d.h. \forall \overline{a}, \overline{b} \in \mathbb{Z}_4: \overline{a} \oplus \overline{b} \in \mathbb{Z}_4,
  2. Die Verknüpfung \oplus ist auf der Menge \mathbb{Z}_4 assoziativ, d.h. \forall \overline{a}, \overline{b}, \overline{c} \in \mathbb{Z}_4: \left(\overline{a} \oplus \overline{b} \right) \oplus \overline{c}= \overline{a} \oplus \left( \overline{b} \oplus \overline{c} \right),
  3. \mathbb{Z}_4 hat ein neutrales Element, nämlich die Klasse \overline{0}, d.h. \forall \overline{a} \in \mathbb{Z}_4: \overline{a} \oplus \overline{0}= \overline{0} \oplus \overline{a} = \overline{a},
  4. Zu jedem Element aus \mathbb{Z}_4 gibt es ein inverses Element, d.h. \forall \overline{a} \in \mathbb{Z}_4 \exist \left(-\overline{a}\right): \overline{a} \oplus \left(-\overline{a}\right) = \left(-\overline{a}\right) \oplus \overline{a} = \overline{0} .

Die folgende Verknüpfungstafel verdeutlicht die obigen Eigenschaften:



Die Tabelle wurde mit der Tabellenkalkulation von Geogebra generiert. Aus diesem Grunde fehlen die Querstriche über den Klassen.

Die Verknüpfungstabelle zeigt eine weitere Eigenschaft der Gruppe \left(\mathbb{Z}_4, \oplus\right):
Die Ergebnisse in der Tabelle sind symmetrisch bezüglich der Hauptdiagonalen angeordnet. Letzteres bedeutet, dass die Verknüpfung \oplus auf \mathbb{Z}_4 kommutativ ist:

  • \forall \overline{a}, \overline{b} \in \mathbb{Z}_4: \overline{a} \oplus \overline{b} = \overline{b} \oplus \overline{a}.

Kommutative Gruppen werden auch Abelsche Gruppen genannt.

Gruppe der Deckdrehungen des Quadrats

Hierbei verstehen wir unter D_Q die Menge aller Drehungen die das Quadrat \overline{ABCD} auf sich selbst abbilden:
D_Q:=\left\{D_{0}, D_{90}, D_{180}, D_{270}\right\}

Die Verknüpfung sei die NAF.

Daraus ergibt sich folgende Verknüpfungstafel:
Verknüpfungstafel DR.3JPG.JPG

Überprüfung der Gruppeneigenschaften:
1. Abgeschlossenheit: siehe Verknüpfungstabelle
2. Assoziativität: Drehungen sind immer assoziativ
3. Neutrales Element: D_{0}
4. Inverse Elemente: D_{0} \cdot D_{0}= D_{0} und D_{90} \cdot D_{270} = D_{0} und D_{180} \cdot D_{180} = D_{0} und D_{270} \cdot D_{90} = D_{0}

Anmerkung: Die Gruppe der Deckdrehungen des Quadrats ist eine zyklische Gruppe.

--Jessy* 16:26, 11. Dez. 2012 (CET)

Gruppe der Deckabbildungen des Rechtecks

Decvkabbildungen Rechteck.png
Unter D_R wollen wir die Menge aller Bewegungen verstehen, die das Rechteck \overline{ABCD} auf sich selbst abbilden. Es handelt sich dabei um die folgenden Drehungen (mit dem Drehzentrum Z) und Geradenspiegelungen:
D_R:=\left\{D_{0}, D_{180}, S_m, S_n\right\}

Es ergibt sich folgende Verknüpfungstafel:
Verknüpfungstafel DR.4.JPG

Überprüfung der Gruppeneigenschaften:
1. Abgeschlossenheit: siehe Verknüpfungstabelle
2. Assoziativität: Gegeben
3. Neutrales Element: D_{0}
4. Inverse Elemente: D_{0} \cdot D_{0}= D_{0} und D_{180} \cdot D_{180} = D_{0} und S_{m} \cdot S_{m} = D_{0} und S_{n} \cdot S_{n} = D_{0}

Anmerkung: Die Gruppe der Deckabbildungen des Rechtecks ist die kleinste nicht-zyklische Gruppe und wird auch Kleinsche Vierergruppe genannt.

--Jessy* 10:17, 12. Dez. 2012 (CET)

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