Gruppen, abelsche Gruppen 2012 12: Unterschied zwischen den Versionen
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=Gruppeneigenschaften= | =Gruppeneigenschaften= | ||
− | Eine Menge ist bezüglich einer Verknüpfung bzw. einer Operation eine Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:<br /> | + | Eine Menge M ist bezüglich einer Verknüpfung <math>\odot</math> bzw. einer Operation eine '''Gruppe''', wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:<br /> |
+ | '''1. Abgeschlossenheit:''' die Menge M ist bezüglich der Verknüfung <math>\odot</math> abgeschlossen: Verknüpft man ein Element der Menge mit einem anderen Element der Menge, erhält man wiederum ein Element der Menge<br /> | ||
+ | <math> \quad \quad \forall a,b \in M: a \odot b \in M</math><br /> | ||
+ | '''2. Assoziativität:''' die Menge M ist bezüglich der Verknüfung <math>\odot</math> assoziativ<br /> | ||
+ | <math> \quad \quad \forall a,b,c \in M: (a \odot b) \odot c = a \odot (b \odot c)</math><br /> | ||
+ | '''3. Neutrales Element:''' Innerhalb der Menge M gibt es ein neutrales Element e <br /> | ||
+ | <math> \quad \quad \forall a \in M: e \odot a = a \odot e = a</math><br /> | ||
+ | '''4. Inverse Elemente:''' Für jedes Element von M gibt es ein Inverses Element <br /> | ||
+ | <math> \quad \quad \forall a \in M: a \odot a^{-1} = e \quad \quad \quad \quad mit a^{-1} \in M und e = neutrales Element</math><br /><br /> | ||
+ | Erfüllt eine Menge M bezüglich einer Verknüfung <math>\odot</math> hingegen nicht alle, aber mindestnes die <u>Abgeschlossenheit</u> und die <u>Assoziativität</u>, so handelt es sich um eine '''Halbgruppe'''.<br /><br /> | ||
+ | Erfüllt eine Gruppe zusätzlich eine weitere Eigenschaft, nämmlich die Kommutativität, so ist sie eine '''kommutative bzw. abelsche Gruppe'''<br /> | ||
+ | '''5. Kommutativität:''' Die Reihenfolge in welcher die Elemente der Menge M mit <math>\odot</math> Verknüpft werden ist egal<br /> | ||
+ | <math> \quad \quad \forall a,b \in M: a \odot b = b \odot a</math><br /><br /> | ||
+ | --[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 11:38, 12. Dez. 2012 (CET) | ||
=Beispiele für endliche Gruppen= | =Beispiele für endliche Gruppen= |
Version vom 12. Dezember 2012, 12:38 Uhr
GruppeneigenschaftenEine Menge M ist bezüglich einer Verknüpfung Beispiele für endliche GruppenRestklassen modulo 4
Wir definieren auf Die Struktur
Die folgende Verknüpfungstafel verdeutlicht die obigen Eigenschaften:
Die Tabelle wurde mit der Tabellenkalkulation von Geogebra generiert. Aus diesem Grunde fehlen die Querstriche über den Klassen. Die Verknüpfungstabelle zeigt eine weitere Eigenschaft der Gruppe
Kommutative Gruppen werden auch Abelsche Gruppen genannt. Gruppe der Deckdrehungen des QuadratsHierbei verstehen wir unter Gruppe der Deckabbildungen des Rechtecks
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