Die abelsche Gruppe der Pfeilklassen 2012 13: Unterschied zwischen den Versionen

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==Inverse Elemente==
 
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<math>\forall \vec{u} \in \mathbb{P}_2 \exist  -\vec{u} \in \mathbb{P}_2: \vec{u}+(-\vec{u})=(-\vec{u})+\vec{u}=\vec{o}</math><br />
 
<math>\forall \vec{u} \in \mathbb{P}_2 \exist  -\vec{u} \in \mathbb{P}_2: \vec{u}+(-\vec{u})=(-\vec{u})+\vec{u}=\vec{o}</math><br />
−
<math>\forall \vec{u} \in \mathbb{P}_3 \exist  -\vec{u} \in \mathbb{P}_3: \vec{u}+(-\vec{u})=(-\vec{u})+\vec{u}=\vec{o}</math>
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<math>\forall \vec{u} \in \mathbb{P}_3 \exist  -\vec{u} \in \mathbb{P}_3: \vec{u}+(-\vec{u})=(-\vec{u})+\vec{u}=\vec{o}</math><br />
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Das inverse Element zur Pfeilklasse mit dem Repräsentanten <math>\vec{AB}</math> ist die Pfeilklasse mit dem Repräsentanten <math>\vec{BA}</math> (sowohl im Raum als auch in der Ebene).

Version vom 12. Dezember 2012, 18:46 Uhr

Inhaltsverzeichnis

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Die Menge und die Verknüpfung

Wir fassen alle Pfeilklassen des Raumes bzw. der Ebene zu jeweils einer Menge zusammen. Als Verknüpfung wählen wir die Addition von Pfeilklassen. Mit \mathbb{P}_2 wollen wir die Menge der Pfeilklassen der Ebene bezeichnen, mit \mathbb{P}_3 die Menge der Pfeilklassen des Raumes.

Die Eigenschaften

Abgeschlossenheit

Die Addition zweier Pfeilklassen der Ebene bzw. des Raumes ist wiederum eine Pfeilklasse der Ebene bzw. des Raumes.
\forall \vec{u}, \vec{v} \in \mathbb{P}_2: \vec{u} + \vec{v} \in \mathbb{P}_2
\forall \vec{u}, \vec{v} \in \mathbb{P}_3: \vec{u} + \vec{v} \in \mathbb{P}_3

Neutrales Element

\exist \vec{o} \in \mathbb{P}_2 :\forall \vec{v} \in \mathbb{P}_2:\vec{o}+ \vec{v}=\vec{v} + \vec{o}=\vec{v}
\exist \vec{o} \in \mathbb{P}_3 :\forall \vec{v} \in \mathbb{P}_3:\vec{o}+ \vec{v}=\vec{v} + \vec{o}=\vec{v}

Die Pfeilklasse des Raumes bzw. der Ebene, die den Nullpfeil enthält, leistet das Verlangte.

Inverse Elemente

\forall \vec{u} \in \mathbb{P}_2 \exist -\vec{u} \in \mathbb{P}_2: \vec{u}+(-\vec{u})=(-\vec{u})+\vec{u}=\vec{o}
\forall \vec{u} \in \mathbb{P}_3 \exist -\vec{u} \in \mathbb{P}_3: \vec{u}+(-\vec{u})=(-\vec{u})+\vec{u}=\vec{o}

Das inverse Element zur Pfeilklasse mit dem Repräsentanten \vec{AB} ist die Pfeilklasse mit dem Repräsentanten \vec{BA} (sowohl im Raum als auch in der Ebene).

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