Benutzer:Spannagel/Quiz9: Unterschied zwischen den Versionen

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 <quiz>
-{ In welchen Fällen ist der Begriff des Mittelpunkts einer Strecke mathematisch korrekt definiert worden?}
+{ Seien <math>\mathcal{M}</math> die Menge aller Punkte und <math>\mathcal{G}</math> die Menge aller Geraden. Welche der folgenden Aussagen ist äquivalent zu der Aussage <math>\forall A,P \in \mathcal{M}. \exist g \in \mathcal{G}: A, P \in g</math> ?}
-- Der Mittelpunkt <math>\ M</math> einer Strecke <math>\overline{AB}</math> ist ein Punkt der mitten auf der Strecke sitzt.
+- <math>\exist g \in \mathcal{G}. \forall A,P \in \mathcal{M}: A, P \in g</math>
-|| was heißt mitten auf der Strecke?
+|| Formulieren Sie die Aussage einmal natürlichsprachlich. Was bedeutet sie?
-- Der Mittelpunkt <math>\ M</math> einer Strecke <math>\overline{AB}</math> ergibt sich aus der Schnittmenge der beiden Halbgeraden <math>\ AB^+ </math> und <math>\ AB^- </math>.
++ <math>\neg \exist A,P \in \mathcal{M}. \neg \exist g \in \mathcal{G}: A, P \in g</math>
-|| es geht um Strecken, nicht um Geraden oder Halbgeraden.
+|| Sehr gut! Sind Sie der Geist, der stets verneint?
-- Ein Punkt <math>\ M</math>, der zu den Endpunkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> einer Strecke <math>\overline{AB}</math> jeweils den selben Abstand hat, heißt Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>.
+- <math>\forall g \in \mathcal{G}. \exist A,P \in \mathcal{M}: A, P \not \in g</math>
-|| Ein solcher Punkt könnte auch außerhalb der Strecke <math>\overline{AB}</math> liegen - warum?
+|| Ja oder nein - das ist hier die Frage.
-+ Ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math>, der zu den Endpunkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils den selben Abstand hat, heißt Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>.
+- <math>\forall A,P \in \mathcal{M}. \neg \exist g \in \mathcal{G}: A, P \not \in g</math>
-|| so ist es korrekt!
+|| Was nun: Gibt es jetzt mindestens eine Gerade, oder soll das für alle Geraden gelten?
-+ Wenn für einen Punkt <math>\ M</math> gilt: <math>\ M \in \overline{AB}</math> mit: <math> \left| AM \right| = \left| MB \right|</math>, dann heißt <math>\ M</math> Mittelpunkt von <math>\overline{AB}</math>.
-|| so klappt es auch!
-{Welche der folgenden Aussagen ist zu folgendem Satz äquivalent:
+{ <math>\mathcal{M}</math> sei die Menge der Punkte <math>\ A, B, C</math>. Was ist die Negation der Aussage <math>\forall X, Y \in \mathcal{M} : X \not\equiv Y</math> ?}
-Wenn ein n-Eck ein Dreieck ist, dann hat es genau einen Umkreis.}
+- <math>\exist X \in \mathcal{M}.\forall Y \in \mathcal{M} : X \equiv Y</math>
-- Es gibt Dreiecke mit Umkreisen.
+|| Wenn Sie es nicht ganz so umständlich ausdrücken, kommen Sie auf eine andere falsche Aussage hier in dieser Auswahl.
-|| aber nicht alle müssen genau einen Umkreis haben!
+- <math>\forall X, Y \in \mathcal{M} : X \equiv Y</math>
-- zu allen Kreisen existiert genau ein Dreieck.
+|| Muss es denn eine Dreierbeziehung sein?
-|| das ist offensichtlich Unsinn.
++ <math>\exist X, Y \in \mathcal{M} : X \equiv Y</math>
-- Jedes n-Eck mit genau einem Umkreis ist ein Dreieck.
+|| Richtig! Es gibt sie also doch, wenn man nur etwas negativ denkt!
-|| das ist die Umkehrung der ursprünglichen Aussage und außerdem nicht wahr.
+- <math>\neg \forall X, Y \in \mathcal{M} : X \equiv Y</math>
-- Es existieren Dreiecke, die einen Umkreis haben.
+|| Oft ist es einfach ein Strich zu wenig.
-|| wo ist die Eindeutigkeit?
-- Es existieren Umkreise.
-|| ohne Worte!
-+ hat ein n-Eck keinen oder mehr als einen Umkreis, dann ist es kein Dreieck.
-|| dies ist die Kontraposition der oben genannten Aussage und damit äquivalent zu dieser!
-{Wie lautet die korrekte "Wenn-Dann-Form" der folgenden Implikation?
+{ Seien <math>\mathcal{M}</math> die Menge aller Punkte und <math>\mathcal{G}</math> die Menge von drei Geraden <math>\ g, h, i</math>. Welche der folgenden Aussagen ist äquivalent zu der Aussage "Je zwei von drei Geraden haben mindestens einen Punkt gemeinsam."?}
-Die Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt 180°.}
+- <math>\exist x,y \in \mathcal{G}.\exist P \in \mathcal{M} : P \in x \and P \in y</math>
+|| Die Aussage, die Sie suchen, sollte nicht die Option für Extrawürste enthalten!
-- Wenn die Innenwinkelsumme eines n-Ecks 180° beträgt, so ist es ein Dreieck.
++ <math>\forall x,y \in \mathcal{G}. \neg \exist P \in \mathcal{M} : \neg P \in x \or \neg P \in y</math>
-|| die Umkehrung lässt grüßen.
+|| Stimmt. Ganz schön gemein, oder?
-- Genau dann wenn ein Dreieck gegeben ist, beträgt seine Innenwinkelsumme 180°.
+- <math>\forall x,y \in \mathcal{G}.\exist P \in \mathcal{M} : P \in x \or P \in y</math>
-|| hier wird eine Äquivalenz formuliert.
+|| Entweder oder? Oder beides? Oder was?
-+ Wenn ein Dreieck gegeben ist, dann beträgt seine Innenwinkelsumme 180°.
+- <math>\exist P \in \mathcal{M}.\forall x,y \in \mathcal{G}. : P \in x \and P \in y</math>
-|| so ist es korrekt!
+|| Sie haben von Dreiecken wohl schon genug?
-- Wenn die Innenwinkelsumme eines n-Ecks keine 180° beträgt, dann ist das n-Eck kein Dreieck.
-|| es handelt sich hier um die Kontraposition.
 </quiz>

Aktuelle Version vom 16. Juni 2010, 00:00 Uhr

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1. Seien $\mathcal{M}$ die Menge aller Punkte und $\mathcal{G}$ die Menge aller Geraden. Welche der folgenden Aussagen ist äquivalent zu der Aussage $\forall A,P \in \mathcal{M}. \exist g \in \mathcal{G}: A, P \in g$ ?

$\exist g \in \mathcal{G}. \forall A,P \in \mathcal{M}: A, P \in g$

→

Formulieren Sie die Aussage einmal natürlichsprachlich. Was bedeutet sie?

$\neg \exist A,P \in \mathcal{M}. \neg \exist g \in \mathcal{G}: A, P \in g$

→

Sehr gut! Sind Sie der Geist, der stets verneint?

$\forall g \in \mathcal{G}. \exist A,P \in \mathcal{M}: A, P \not \in g$

→

Ja oder nein - das ist hier die Frage.

$\forall A,P \in \mathcal{M}. \neg \exist g \in \mathcal{G}: A, P \not \in g$

→

Was nun: Gibt es jetzt mindestens eine Gerade, oder soll das für alle Geraden gelten?

2. $\mathcal{M}$ sei die Menge der Punkte $\ A, B, C$ . Was ist die Negation der Aussage $\forall X, Y \in \mathcal{M} : X \not\equiv Y$ ?

$\exist X \in \mathcal{M}.\forall Y \in \mathcal{M} : X \equiv Y$

→

Wenn Sie es nicht ganz so umständlich ausdrücken, kommen Sie auf eine andere falsche Aussage hier in dieser Auswahl.

$\forall X, Y \in \mathcal{M} : X \equiv Y$

→

Muss es denn eine Dreierbeziehung sein?

$\exist X, Y \in \mathcal{M} : X \equiv Y$

→

Richtig! Es gibt sie also doch, wenn man nur etwas negativ denkt!

$\neg \forall X, Y \in \mathcal{M} : X \equiv Y$

→

Oft ist es einfach ein Strich zu wenig.

3. Seien $\mathcal{M}$ die Menge aller Punkte und $\mathcal{G}$ die Menge von drei Geraden $\ g, h, i$ . Welche der folgenden Aussagen ist äquivalent zu der Aussage "Je zwei von drei Geraden haben mindestens einen Punkt gemeinsam."?