Serie 05 12 13: Unterschied zwischen den Versionen

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Es sei <math>Z=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ d \end{pmatrix}</math>,<math>d \in \mathbb{R}, d > 0</math>
 
Es sei <math>Z=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ d \end{pmatrix}</math>,<math>d \in \mathbb{R}, d > 0</math>
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Es sei <math>\varepsilon</math> die <math>x-y-</math>Ebene. Wir bilden jedes Element des <math>\mathbb{R}^3</math> mittels der Abbildung <math>ZP_Z</math>auf <math>\varepsilon</math> (als <math>\mathbb{R}^2</math> zu interpretieren) wie folgt ab:
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<math>\forall P=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in \mathbb{R} \setminus Z: ZP_Z(P)=ZP\cap \varepsilon</math>

Version vom 15. Dezember 2012, 18:40 Uhr

Aufgabe 5.1

Es sei \varphi \in \mathbb{R}.
Wir definieren die folgende Abbildung f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2
\forall \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2: f \left( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix}cos(\varphi) & -sin(\varphi) \\ sin(\varphi) & cos(\varphi) \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} cos(\varphi)x + (-sin(\varphi))y \\ sin(\varphi)x + cos(\varphi) y \end{pmatrix}.
Beweisen Sie: f ist eine lineare Abbildung.
Interpretieren Sie f geometrisch.
Hilfe:

Aufgabe 5.2

Es sei Z=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ d \end{pmatrix},d \in \mathbb{R}, d > 0

Es sei \varepsilon die x-y-Ebene. Wir bilden jedes Element des \mathbb{R}^3 mittels der Abbildung ZP_Zauf \varepsilon (als \mathbb{R}^2 zu interpretieren) wie folgt ab: \forall P=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in \mathbb{R} \setminus Z: ZP_Z(P)=ZP\cap \varepsilon

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