Version vom 18. April 2013, 18:08 Uhr

Inhaltsverzeichnis

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1 Aufgaben vorab
2 Was ist eine Definition?
3 Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulieren
- 3.1 Beispiel 1: ggT zweier ganzer Zahlen
- 3.2 Beispiel 2: Drachenviereck
4 Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen
5 Entwicklung einer "neuen" Definition

Aufgaben vorab

Definieren Sie:

Kreis $k$ mit Mittelunkt $M$ und Radius $r$
Trapez
Parallelogramm

Was ist eine Definition?

Rein aus der Intuition heraus

Zuordnung
Ziehen Sie mit der Maus in die nach Ihrer Meinung richtige Zeile.

passt zum Begriff Definition

passt nicht zum Begriff Definition

Falls es Gott geben sollte so hat er sie erschaffenist eine Gesetzmäßigkeitist entweder wahr oder falschFestlegungexistiert unabhängig vom menschlichen BewußtseinNamensgebungwird durch den Menschen geschaffenNaturgesetzmathematische AussageBegriffsbeschreibungjuristisches Gesetzist weder wahr noch falsch

Was ist nun eine Definition

Was sind mathematische Definitionen?

Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulieren

Es gibt verschiedene Arten, Definitionen zu formulieren.

Beispiel 1: ggT zweier ganzer Zahlen

Die Begriffe Teiler und Euklidischer Algorithmus seien im Folgenden bereits exakt definiert.

Das Übliche, die Realdefinition

Es seien $a$ und $b$ zwei ganze Zahlen. $T$ sei die Menge aller Zahlen, die sowohl Teiler von $a$ als auch von $b$ sind. Die größte Zahl der Menge $T$ heißt größter gemeinsamer Teiler der Zahlen $a$ und $b$ .

Konventionaldefinition, das Ganze in "wenn-dann"

Wenn eine Zahl $g$ sowohl die ganze Zahl $a$ als auch die ganze Zahl $b$ teilt und es keine Zahl $t$ gibt, die auch $a$ und $b$ teilt und dabei größer als $g$ ist, dann ist $g$ der größte gemeinsame Teiler von $a$ und $b$ .

Schön, aber wie bekomme ich den ggT: die genetisch, operative Definition

Der letzte von 0 verschiedene Rest, den man bei Anwendung des Euklidischen Algorithmus auf die ganzen Zahlen $a$ und $b$ erhält, ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen $a$ und $b$ .

Beispiel 2: Drachenviereck

Die Begriffe Dreieck, Viereck, Diagonale, Eckpunkt, Geradenspiegelung und achsensymmetrisch seien im Folgenden bereits definiert.

Realdefinition

Ein Viereck, bei dem die eine Diagonale Teilmenge der Mittelsenkrechten seiner anderen Diagonale ist, heißt Drachenviereck.

Konventionaldefinition

Wenn ein Viereck achsensymmetrisch bezüglich einer Geraden ist, die durch zwei Eckpunkte des Vierecks geht, dann heißt das Viereck Drachenviereck.

genetisch, operative Definition

Es sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck und $\ C'$ das Bild von $\ C$ bei der Spiegelung an $\ AB$ . Das Viereck $\overline{AC'BC}$ ist ein Drachenviereck.

Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen

Aus didaktischer Sicht lassen sich Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen formulieren.

Das nachfolgende Skript gibt weitere Informationen:
* Definitionen

Entwicklung einer "neuen" Definition

Gärtnerkonstruktion der Ellipse

Video

Im Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff Ellipse zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen.

EmbedVideo erhielt die unbrauchbare ID „PQjeTmY0cdQ&NR=1“ für „youtube“.

Bemerkung zu obigem Video: Das geht natürlich noch schöner. Ansporn für Sie?

In einer ersten intuitiven Definition können wir also sagen:
....

Applet

Das folgende Applet empfindet die Gärtnerkonstruktion nach.

Aufgaben zur Gärtnerkonstruktion

Experimentieren Sie mit dem Applet und machen Sie sich dabei die mathematischen Zusammenhänge klar (Tipp: Bewegen Sie den Punkt P und beobachten Sie die Strecken a und b).
Welche Zusammenhänge entdecken Sie?
Versuchen Sie nun aus den Erkenntnissen eine formale Definition des Begriffs
Ellipse zu entwickeln.
Können Sie nun den Begriff Kreis unter Verwendung des Oberbegriffs Ellipse definieren?

Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.

Definition E.1: Ellipse

Alle Punkte P (mit P liegt in der Ebene E und alle P Element k) für die gilt: Strecke AP + Strecke BP = q (q sei eine feste Zahl).--Natürliches Mineralwasser 15:02, 17. Jan. 2013 (CET)

Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse

...

Zurückführen auf bereits vorhanden Definitionen: Verwenden von Oberbegriffen

Das Haus der Vierecke

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Obige Flash-Applikation wurde von Frau Andrea Spitz im Rahmen des Seminars "Erstellen von Multimediaanwendungen für den Unterricht" generiert.

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 + Bildung ist ein aktiver, komplexer und nie abgeschlossener Prozess, in dessen glücklichem Verlauf eine selbstständige und selbsttätige, problemlösungsfähige und lebenstüchtige Persönlichkeit entstehen kann.
 || Ein unglaublich schwieriger Begriff. Wir werden ihn wohl nie exakt und genau im mathematischen Sinne erfassen können.
++ Ein Punkt ist das was nicht mehr teilbar ist.
+|| Und was ist nun nicht mehr teilbar?
 </quiz>

Definitionen in der Mathematik SoSe 13 S: Unterschied zwischen den Versionen