Aufgaben vorab

Definieren Sie:

1. Kreis mit Mittelpunkt und Radius
2. Trapez
3. Parallelogramm

Was ist eine Definition?

Rein aus der Intuition heraus

Was ist nun eine Definition

Es ist schwer den Begriff mathematische Definition sauber zu klären (zu definieren). Wir wollen unter einer Definition die Beschreibung, Festlegung eines Begriffes verstehen. Aus mathematischer Sicht sind an eine derartige Begriffsbeschreibung gewisse Forderungen zu stellen.

Was sind mathematische Definitionen?

Ein Quiz

1. Bei welchen der folgenden "Definitionen" würde einem echten Mathematiker unwohl sein?

	Unter dem Gegenstand der Pädagogik versteht man die Befähigung zur Aneignung.
→	Was genau ist Aneignung, was genau ist Befähigung?
	Bildung ist ein aktiver, komplexer und nie abgeschlossener Prozess, in dessen glücklichem Verlauf eine selbstständige und selbsttätige, problemlösungsfähige und lebenstüchtige Persönlichkeit entstehen kann.
→	Ein unglaublich schwieriger Begriff. Wir werden ihn wohl nie exakt und genau im mathematischen Sinne erfassen können.
	Ein Punkt ist das, was nicht mehr teilbar ist.
→	Und was ist nun nicht mehr teilbar?
	Ein Parallelogramm ist ein Trapez mit einem weiteren Paar paralleler Seiten.
→	Hier fühlt sich der Mathematiker wohl. Vorausgesetzt Trapez, parallel, Seite etc. wurde bereits definiert.
	Unter dem RGB-Farbraum versteht man die folgende Menge geordneter Tripel natürlicher Zahlen: RGB:=
→	wiederum vorausgesetzt geordnetes Tripel, natürliche Zahl etc. wurde bereits definiert.

Punkte: 0 / 0

Fazit

Will man eine Begriffsbeschreibung effizient erstellen, so wird man sinnvollerweise auf andere Begriffe zurückgreifen. All diese Begriffe müssen ihrerseits vorab festgelegt worden sein.

undefinierte Grundbegriffe

• Ein Quadrat ist eine Rechteck mit ...
• Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit ...
• Ein Parallelogramm ist ein Trapez mit ...
• Ein Trapez ist ein Viereck mit ...
• Eine Viereck ist die Vereingungsmenge von vier Strecken, wobei ...
• Die Strecke ist die Menge aller Punkte, die zwischen den Punkten und liegt vereinigt mit der Menge, die aus den Punkten und besteht.
• Ein Punkt ist ...?

Irgendwann sind wir mit der Rückführung auf andere Begriffe am Ende. Wir müssen akzeptieren, dass wir nicht alles sauber und exakt definieren können, obwohl wir doch sehr genaue Vorstellungen von unserem Begriff haben. Der Mathematiker geht dann von sogenannten undefinierten Grundbegriffen aus:

• Punkt
• Gerade
• Ebene

Wir ergänzen:

Eine mathematische Definition ist eine Begriffsbeschreibung, die nur bereits definierte Begriffe bzw. als undefiniert festgelegte Grundbegriffe verwendet.

Minimalität mathematischer Definitionen

Weniger ist mehr

Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulieren

Es gibt verschiedene Arten, Definitionen zu formulieren.

Beispiel 1: ggT zweier ganzer Zahlen

Die Begriffe Teiler und Euklidischer Algorithmus seien im Folgenden bereits exakt definiert.

Das Übliche, die Realdefinition

Es seien und zwei ganze Zahlen. sei die Menge aller Zahlen, die sowohl Teiler von als auch von sind. Die größte Zahl der Menge heißt größter gemeinsamer Teiler der Zahlen und .

Konventionaldefinition, das Ganze in "wenn-dann"

Wenn eine Zahl sowohl die ganze Zahl als auch die ganze Zahl teilt und es keine Zahl gibt, die auch und teilt und dabei größer als ist, dann ist der größte gemeinsame Teiler von und .

Schön, aber wie bekomme ich den ggT: die genetisch, operative Definition

Der letzte von 0 verschiedene Rest, den man bei Anwendung des Euklidischen Algorithmus auf die ganzen Zahlen und erhält, ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen und .

Beispiel 2: Drachenviereck

Die Begriffe Dreieck, Viereck, Diagonale, Eckpunkt, Geradenspiegelung und achsensymmetrisch seien im Folgenden bereits definiert.

Realdefinition

Ein Viereck, bei dem die eine Diagonale Teilmenge der Mittelsenkrechten seiner anderen Diagonale ist, heißt Drachenviereck.

Konventionaldefinition

Wenn ein Viereck achsensymmetrisch bezüglich einer Geraden ist, die durch zwei Eckpunkte des Vierecks geht, dann heißt das Viereck Drachenviereck.

genetisch, operative Definition

Es sei ein Dreieck und das Bild von bei der Spiegelung an . Das Viereck ist ein Drachenviereck.

Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen

Aus didaktischer Sicht lassen sich Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen formulieren.

Das nachfolgende Skript gibt weitere Informationen:
* Definitionen

Entwicklung einer "neuen" Definition

Gärtnerkonstruktion der Ellipse

Video

Im Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff Ellipse zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen.

Bemerkung zu obigem Video: Das geht natürlich noch schöner. Ansporn für Sie?

In einer ersten intuitiven Definition können wir also sagen:
....

Applet

Das folgende Applet empfindet die Gärtnerkonstruktion nach.

Aufgaben zur Gärtnerkonstruktion

1. Experimentieren Sie mit dem Applet und machen Sie sich dabei die mathematischen Zusammenhänge klar (Tipp: Bewegen Sie den Punkt P und beobachten Sie die Strecken a und b).
   Welche Zusammenhänge entdecken Sie?
2. Versuchen Sie nun aus den Erkenntnissen eine formale Definition des Begriffs
   Ellipse zu entwickeln.
   
   
3. Können Sie nun den Begriff Kreis unter Verwendung des Oberbegriffs Ellipse definieren?
   

Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.

Definition E.1: Ellipse

Alle Punkte P (mit P liegt in der Ebene E und alle P Element k) für die gilt: Strecke AP + Strecke BP = q (q sei eine feste Zahl).--Natürliches Mineralwasser 15:02, 17. Jan. 2013 (CET)

Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse

...

Zurückführen auf bereits vorhanden Definitionen: Verwenden von Oberbegriffen

Das Haus der Vierecke

[ www.ph-heidelberg.de is not an authorized iframe site ]

Obige Flash-Applikation wurde von Frau Andrea Spitz im Rahmen des Seminars "Erstellen von Multimediaanwendungen für den Unterricht" generiert.