Implikationen

Beispiele

Beispiel 1

Wenn der BVB im Finale der Champions League das erste Tor des Spieles schießt, dann gewinnt er die Champions League der Saison 2012/13.

Beispiel 2

Wenn ein Trapez ein Rechteck ist, dann sind sein Diagonalen kongruent zueinander.

Beispiel 3

Wenn ein Boxer während des Kampfes seinem Gegner den Rücken zukehrt, hat er den Kampf verloren.

Beispiel 4

Wenn zwei Winkel Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind, dann sind sie kongruent zueinander.

Grundlegender Aufbau

• Wenn Bedingung , dann Behauptung .
• Aus folgt .
• 

Zusammenhang zur hinreichenden Bedingung

Ist die Aussage wahr, so ist die Bedingung der Implikation hinreichend dafür, dass die Behauptung b gilt.

"Versteckte" Implikationen

Beispiele

Beispiel 1: Stufenwinkelsatz

Ohne Wenn-Dann

Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander

Wenn-Dann-Form

Wenn zwei Winkel Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind, dann sind sie kongruent zueinander.

Voraussetzung

1. die beiden Winkel sind Stufenwinkel
2. an geschnittenen Parallelen

Behauptung

die beiden Winkel sind kongruent zueinander

Beispiel 2: Innenwinkelsatz für Dreiecke

Ohne Wenn-Dann

In jedem Dreieck beträgt die Summe der Größen seiner Innenwinkel °.

Wenn-Dann-Form

Wenn ein n-Eck ein Dreieck ist, dann beträgt die Summe der Größen seiner Innenwinkel °.

Voraussetzung

Das betrachtetet n-Eck ist ein Dreieck

Behauptung

Die Summe der Größen seiner Innenwinkel beträgt °.

Beispiel 3: Umkehrung des Thalessatzes

Ohne Wenn-Dann

Der Mittelpunkt des Umkreises eines rechtwinkligen Dreiecks liegt auf der längsten Seite dieses Dreiecks.

Wenn-Dann-Form

Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, dann liegt der Mittelpunkt seines Umkreises auf der längsten seiner Seiten.

Voraussetzung

Das betrachtete Dreieck ist rechtwinklig.

Behauptung

Der Mittelpunkt seines Umkreises liegt auf der längsten seiner Seiten.

Implikationen als mathematische Sätze

mathematische Sätze

Unter einem mathematischen Satz (im folgenden kurz Satz) versteht man eine mathematische Aussage, die wahr ist.

Implikationen als Sätze

In der Regel werden Sätze als Implikationen formuliert.

Die Voraussetzung der Implikation ist dann eine hinreichende Bedingung für die Behauptung der Implikation.

Die Implikation einer Behauptung und die Implikation als Behauptung (umgangssprachlich)

Der Begriff der Behauptung wird natürlich auch umgangssprachlich verwendet. Meine Erfahrung lehrt mich, dass Novizen der mathematischen Logik diesbezüglich zu Verwechslungen neigen:

Eine gewagte Behauptung

Wenn der FC Barcelona ohne Messi spielt, dann halbiert sich seine Spielstärke.

Fans des FC Barcelona werden die gesamte Implikation (also die gesamte Aussage Wenn der FC Barcelona ohne Messi spielt, dann halbiert sich seine Spielstärke.) als eine gewagte Behauptung ansehen.

Demgegenüber ist die Aussage Barcelona spielt ohne Messi die Voraussetzung der Implikation und die Aussage die Spielstärke halbiert sich die Behauptung der Implikation.

Notwendigkeit des Beweises eines Satzes

Obige Implikation hinsichtlich der spielerischen Stärke des FC Barcelona in Anhängigkeit der Verfügbarkeit des Weltfußballers Messi wird nur schwer zu beweisen sein und kann damit nicht als Satz im mathematischen Sinne verstanden werden. Mathematische Sätze sind wahre Aussagen und als solche zu beweisen.

Direkte Beweise

Beispiele für direkte Beweise

Beispiel 1: Der Scheitelwinkelsatz

Vorab

Es sei bereits klar, dass Nebenwinkel supplementär sind (sich zu ° ergänzen).
Natürlich seien die Begriffe Scheitelwinkel und Nebenwinkel sauber definiert.

Der Satz

Satz: (Scheitelwinkelsatz)

Wenn zwei Winkel und Scheitelwinkel sind, so haben sie dieselbe Größe.

Der Beweis

Skizze

Voraussetzung

und bilden ein Paar von Scheitelwinkeln

Behauptung

Beweisführung (unter Bezug auf die Beweisskizze)

1. ° (Begründung: und sind Nebenwinkel und als solche supplementär.)
2. ° (Begründung: und sind Nebenwinkel und als solche supplementär.)
3. (Begründung: linke Seite von Gleichung 1 ist gleich der linken Seite von Geleichung 2.)
4. (Begründung: Auf beiden Seiten der Gleichung 3 subtrahieren.)

q.e.d.

Beispiel 2: Der starke Außenwinkelsatz

Vorab

Bereits klar sei:

1. Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt °.
2. Nebenwinkel sind supplementär.
3. Alle Begriffe sauber definiert.

Der Satz

Satz: (starker Außenwinkelsatz)

Jeder Außenwinkel eines Dreiecks ist so groß wie die Summe der Größen der beiden Innenwinkel des Dreiecks, die keine Nebenwinkel dieses Außenwinkels sind.

Skizze

Voraussetzung

Der Winkel sei ein Außenwinkel eines Dreiecks . O.B.d.A. sei Nebenwinkel vom Innenwinkel des Dreiecks . (Die beiden Innenwinkel, die zu keine Nebenwinkel sind, seien und .)

Behauptung

Beweis

Das können Sie selbst. Ergänzen Sie hier den Beweis. Orientieren Sie sich am Beweis des Scheitelwinkelsatzes.

Was sind direkte Beweise?

In den obigen Bespielen wurde ausgehend von der Voraussetzung und der Verwendung weiterer bereits bewiesener Sätze die Behauptung unmittelbar hergeleitet. Am Ende der Herleitungskette steht die Behauptung. Man spricht in einem solchen Fall von einem direkten Beweis.

indirekte Beweise

Ein Bespiel: Winkel-Seiten-Beziehung im Dreieck

Vorab

Wir gehen davon aus, das wir die Seiten-Winkel-Beziehung für Dreiecke bereits bewiesen haben: In jedem Dreieck liegt der größeren Seite auch der größere Winkel gegenüber.

Der Satz

Satz: (Winkel-Seiten-Beziehung im Dreieck)

Es sei ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. Wenn der Winkel größer als der Winkel ist, dann ist die Seite länger als die Seite .

Voraussetzung

Behauptung

Annahme

(Das Gegenteil der Behauptung)

Beweisführung

Mittels der Annahme wird ein Widerspruch aufgedeckt

Im speziellen Fall geht das sehr schnell:

1. Aus der Annahme folgt unter Berücksichtigung der bereits bewiesenen Seiten-Winkelbeziehung, dass gelten muss.
2. Letzteres ist ein Widerspruch zur Voraussetzung .

Die Annahme ist somit zu verwerfen.