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:Wir leiten aus der Annahme Schlussfolgerungen ab, die schließlich zu einem Widerspruch führen. Häufig ergibt sich dieser als Widerspruch zur Voraussetzung (Beispiel 1). Es muss sich beim Widerspruchsbeweis der Widerspruch jedoch nicht zwingend zur unmittelbar zur Voraussetzung ergeben. es können sich auch Widersprüche zu anderen Sätzen bzw. wahren Aussagen ergeben (Beispiel 2: Widerspruch zum Außenwinkelsatz).
 
:Wir leiten aus der Annahme Schlussfolgerungen ab, die schließlich zu einem Widerspruch führen. Häufig ergibt sich dieser als Widerspruch zur Voraussetzung (Beispiel 1). Es muss sich beim Widerspruchsbeweis der Widerspruch jedoch nicht zwingend zur unmittelbar zur Voraussetzung ergeben. es können sich auch Widersprüche zu anderen Sätzen bzw. wahren Aussagen ergeben (Beispiel 2: Widerspruch zum Außenwinkelsatz).
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==Beweis mittels der Kontraposition einer Implikation==
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====Beispiel 1: Kontraposition des Innenwinkelsatzes für Dreiecke====
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=====Der Innenwinkelsatz=====
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:Wenn ein n-Eck ein Dreieck ist, dann beträgt die Summe der Größen seiner Innnenwinkel <math>180^\circ</math>
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=====Die Voraussetzung noch einmal explizit====
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:Ein n-Eck <math>F</math> sei ein Dreieck
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=====Die Behauptung noch einmal explizit=====
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:Die Innenwinkelsumme von <math>F</math> beträgt <math>180^\circ</math>.
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=====Konstruktion der Kontraposition=====
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#Bilden eine Implikation die durch Vertauschung von Voraussetzung und Behauptung der ursprünglichen Implikation entsteht. Anders ausgedrückt: Wir bilden die Umkehrung der ursprünglichen Implikation: Wenn in einem n-Eck <math>F</math> die Innenwinkelsumme <math>180^\circ</math> beträgt, dann ist <math>F</math> ein Dreieck.
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#Wir negieren in der Umkehrung die Voraussetzung und die Behauptung: Wenn in einem n-Eck <math>F</math> die Innenwinkelsumme verschieden von <math>180^\circ</math> ist, dann ist <math>F</math> kein Dreieck.
 
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Version vom 9. Mai 2013, 22:33 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Implikationen

Beispiele

Beispiel 1

Borussia Dortmund logo.svg
Wenn der BVB im Finale der Champions League das erste Tor des Spieles schießt, dann gewinnt er die Champions League der Saison 2012/13.

Beispiel 2

Wenn ein Trapez ein Rechteck ist, dann sind sein Diagonalen kongruent zueinander.

Beispiel 3

Wenn ein Boxer während des Kampfes seinem Gegner den Rücken zukehrt, hat er den Kampf verloren.

Beispiel 4

Wenn zwei Winkel Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind, dann sind sie kongruent zueinander.

Grundlegender Aufbau

  • Wenn Bedingung a, dann Behauptung b.
  • Aus a folgt b.
  • a \Rightarrow b

Zusammenhang zur hinreichenden Bedingung

Ist die Aussage a \Rightarrow b wahr, so ist die Bedingung der Implikation hinreichend dafür, dass die Behauptung b gilt.

"Versteckte" Implikationen

Beispiele

Beispiel 1: Stufenwinkelsatz

Ohne Wenn-Dann
Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander
Wenn-Dann-Form
Wenn zwei Winkel Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind, dann sind sie kongruent zueinander.
Voraussetzung
  1. die beiden Winkel sind Stufenwinkel
  2. an geschnittenen Parallelen
Behauptung
die beiden Winkel sind kongruent zueinander

Beispiel 2: Innenwinkelsatz für Dreiecke

Ohne Wenn-Dann
In jedem Dreieck beträgt die Summe der Größen seiner Innenwinkel 180°.
Wenn-Dann-Form
Wenn ein n-Eck ein Dreieck ist, dann beträgt die Summe der Größen seiner Innenwinkel 180°.
Voraussetzung
Das betrachtetet n-Eck ist ein Dreieck
Behauptung
Die Summe der Größen seiner Innenwinkel beträgt 180°.

Beispiel 3: Umkehrung des Thalessatzes

Ohne Wenn-Dann
Der Mittelpunkt des Umkreises eines rechtwinkligen Dreiecks liegt auf der längsten Seite dieses Dreiecks.
Wenn-Dann-Form
Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, dann liegt der Mittelpunkt seines Umkreises auf der längsten seiner Seiten.
Voraussetzung
Das betrachtete Dreieck ist rechtwinklig.
Behauptung
Der Mittelpunkt seines Umkreises liegt auf der längsten seiner Seiten.

Implikationen als mathematische Sätze

mathematische Sätze

Unter einem mathematischen Satz (im folgenden kurz Satz) versteht man eine mathematische Aussage, die wahr ist.

Implikationen als Sätze

In der Regel werden Sätze als Implikationen formuliert.
Die Voraussetzung der Implikation ist dann eine hinreichende Bedingung für die Behauptung der Implikation.

Die Implikation einer Behauptung und die Implikation als Behauptung (umgangssprachlich)

Der Begriff der Behauptung wird natürlich auch umgangssprachlich verwendet. Meine Erfahrung lehrt mich, dass Novizen der mathematischen Logik diesbezüglich zu Verwechslungen neigen:

Eine gewagte Behauptung

Wenn der FC Barcelona ohne Messi spielt, dann halbiert sich seine Spielstärke.
Fans des FC Barcelona werden die gesamte Implikation (also die gesamte Aussage Wenn der FC Barcelona ohne Messi spielt, dann halbiert sich seine Spielstärke.) als eine gewagte Behauptung ansehen.
Demgegenüber ist die Aussage Barcelona spielt ohne Messi die Voraussetzung der Implikation und die Aussage die Spielstärke halbiert sich die Behauptung der Implikation.

Notwendigkeit des Beweises eines Satzes

Obige Implikation hinsichtlich der spielerischen Stärke des FC Barcelona in Anhängigkeit der Verfügbarkeit des Weltfußballers Messi wird nur schwer zu beweisen sein und kann damit nicht als Satz im mathematischen Sinne verstanden werden. Mathematische Sätze sind wahre Aussagen und als solche zu beweisen.

Direkte Beweise

Beispiele für direkte Beweise

Beispiel 1: Der Scheitelwinkelsatz

Vorab

Es sei bereits klar, dass Nebenwinkel supplementär sind (sich zu 180° ergänzen).
Natürlich seien die Begriffe Scheitelwinkel und Nebenwinkel sauber definiert.

Der Satz

Satz: (Scheitelwinkelsatz)
Wenn zwei Winkel \alpha und \beta Scheitelwinkel sind, so haben sie dieselbe Größe.

Der Beweis

Skizze

Beweis Scheitelwinkelsatz.png

Voraussetzung

\alpha und \beta bilden ein Paar von Scheitelwinkeln
Behauptung
|\alpha| = |\beta|
Beweisführung (unter Bezug auf die Beweisskizze)
  1. |\alpha| + |\gamma| =180° (Begründung: \alpha und \gamma sind Nebenwinkel und als solche supplementär.)
  2. |\beta| + |\gamma| =180° (Begründung: \beta und \gamma sind Nebenwinkel und als solche supplementär.)
  3. |\alpha| + |\gamma| = |\beta| + |\gamma| (Begründung: linke Seite von Gleichung 1 ist gleich der linken Seite von Geleichung 2.)
  4. |\alpha| = |\beta| (Begründung: Auf beiden Seiten der Gleichung 3 |\gamma| subtrahieren.)

q.e.d.

Beispiel 2: Der starke Außenwinkelsatz

Vorab

Bereits klar sei:

  1. Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt 180°.
  2. Nebenwinkel sind supplementär.
  3. Alle Begriffe sauber definiert.

Der Satz

Satz: (starker Außenwinkelsatz)
Jeder Außenwinkel eines Dreiecks ist so groß wie die Summe der Größen der beiden Innenwinkel des Dreiecks, die keine Nebenwinkel dieses Außenwinkels sind.

Skizze

Beweis Außenwinkelsatz.png

Voraussetzung

Der Winkel \delta sei ein Außenwinkel eines Dreiecks \overline{ABC}. O.B.d.A. sei \delta Nebenwinkel vom Innenwinkel \beta des Dreiecks \overline{ABCD}. (Die beiden Innenwinkel, die zu \delta keine Nebenwinkel sind, seien \alpha und \gamma.)

Behauptung

|\alpha| + |\gamma| = |\delta|

Beweis

Das können Sie selbst. Ergänzen Sie hier den Beweis. Orientieren Sie sich am Beweis des Scheitelwinkelsatzes.

Was sind direkte Beweise?

In den obigen Bespielen wurde ausgehend von der Voraussetzung und der Verwendung weiterer bereits bewiesener Sätze die Behauptung unmittelbar hergeleitet. Am Ende der Herleitungskette steht die Behauptung. Man spricht in einem solchen Fall von einem direkten Beweis.

Indirekte Beweise

Beispiel 1: Winkel-Seiten-Beziehung im Dreieck

Vorab

Wir gehen davon aus, dass wir die Seiten-Winkel-Beziehung für Dreiecke bereits bewiesen haben: In jedem Dreieck liegt der größeren Seite auch der größere Winkel gegenüber.

Der Satz

Satz: (Winkel-Seiten-Beziehung im Dreieck)
Es sei \overline{ABC} ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. Wenn der Winkel \alpha größer als der Winkel \beta ist, dann ist die Seite a länger als die Seite b.

Voraussetzung

|\alpha| > |\beta|

Behauptung

|a|>|b|

Annahme

|a|\le |b| (Das Gegenteil der Behauptung)

Beweisführung

Mittels der Annahme wird ein Widerspruch aufgedeckt
Im speziellen Fall geht das sehr schnell:
  1. Aus der Annahme folgt unter Berücksichtigung der bereits bewiesenen Seiten-Winkelbeziehung, dass |\alpha|\le |\beta| gelten muss.
  2. Letzteres ist ein Widerspruch zur Voraussetzung |\alpha| > |\beta|.

Die Annahme ist somit zu verwerfen.

Beispiel 2: Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt auf eine Gerade

Klärung der Begriffe

Es seien g eine Gerade und P ein Punkt außerhalb von g.

Lotgerade von P auf g: Gerade, die senkrecht auf g steht und durch P geht.
Lotfußpunkt des Lotes von P auf g: Schnittpunkt F der Lotgeraden von P auf g mit g.
Lot l von P auf g: l:=\overline{PF}
Senkrechtstehen können sie intuitiv gebrauchen: Die Lotgerade bildet mit g rechte Winkel, also Winkel der Größe 90^\circ.

Der Satz

Wenn g eine Gerade und P ein nicht zu g gehörender Punkt sind, dann gibt es höchstens ein Lot von P auf g.

Der Beweis

Die Annahme

Es gibt zwei zueinander verschiedene Lote l_1 und l_2 von P auf g.

Die Beweisführung

Eindeutigkeit des Lotes.png

  1. Es sei \alpha der Nebenwinkel zu \angle PL_1L_2
  2. Weil l_1 Lot von P auf g ist, hat \alpha die Größe 90^\circ.
  3. Der Winkel \beta=\angle PL_2L_1 hat ebenso die Größe 90^\circ, denn auch l_2 ist Lot von P auf g.
  4. Nun ist \alpha als Außenwinkel des Dreiecks \overline{PL_1L_2} so groß wie der ihm nicht anliegende Innenwinkel \beta dieses Dreiecks.
  5. Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\lightning“): \lightning 
Letzteres ist jedoch ein Widerspruch zum Außenwinkelsatz.
  1. Die Annahme ist damit zu verwerfen.

Bemerkung

In diesemBeispiel hatten wir einen Eindeutigkeitsbeweis zu führen. Wir werden solche Beweise auch Highlanderbeweise nennen (Es kann nur einen geben).

Highlanderbeweise führt man in der Regel als Widerspruchsbeweis.

Eilean Donan Castle, Scotland - Jan 2011.jpg Christophe Lambert 66ème Festival de Venise (Mostra).jpg

Beispiel 3: Eine Gerade, die senkrecht auf dem Berührungsradius steht, ist Kreistangente

Der Satz

Präambel:

Wir setzen zunächst ebene Geometrie voraus.
Es seien k ein Kreis mit dem Mittelpunkt M und g eine Gerade, die mit k den Punkt B gemeinsam haben möge.

Implikation:

Wenn g senkrecht auf MB steht, dann hat g mit k keinen weiteren von B verschiedenen Punkt gemeinsam.

Der Beweis

Annahme

Senkrecht auf Berührungsradius.png

Es existiert ein weiterer von B verschiedener Punkt A, den g und k gemeinsam haben.

Beweisführung

Das können Sie selbst. Beziehen Sie sich auf die obige Skizze und verwenden Sie:
  1. Basiswinkelsatz
  2. Innenwinkelsatz
  3. oder Außenwinkelsatz (dann wäre die Skizze zu ergänzen).

Widerspruchsbeweise

Alle Beweise aus den Beispielen 1 bis 3 zu den indirekten Beweisen wurden als Widerspruchsbeweis geführt.

Der Ablauf eines Widerspruchsbeweises

Ausgangslage

Eine Implikation a \Rightarrow b soll bewiesen werden:
Voraussetzung:
a
Behauptung:
b

Formulierung der Annahme

  1. Wir behalten die Gültigkeit der Voraussetzung a bei und
  2. nehmen jedoch das Gegenteil der Behauptung an.
Annahme:
\neg b

Weiterer Ablauf es Beweises

Wir leiten aus der Annahme Schlussfolgerungen ab, die schließlich zu einem Widerspruch führen. Häufig ergibt sich dieser als Widerspruch zur Voraussetzung (Beispiel 1). Es muss sich beim Widerspruchsbeweis der Widerspruch jedoch nicht zwingend zur unmittelbar zur Voraussetzung ergeben. es können sich auch Widersprüche zu anderen Sätzen bzw. wahren Aussagen ergeben (Beispiel 2: Widerspruch zum Außenwinkelsatz).

Beweis mittels der Kontraposition einer Implikation

Begriff der Kontraposition

Beispiel 1: Kontraposition des Innenwinkelsatzes für Dreiecke

Der Innenwinkelsatz
Wenn ein n-Eck ein Dreieck ist, dann beträgt die Summe der Größen seiner Innnenwinkel 180^\circ

=Die Voraussetzung noch einmal explizit

Ein n-Eck F sei ein Dreieck
Die Behauptung noch einmal explizit
Die Innenwinkelsumme von F beträgt 180^\circ.
Konstruktion der Kontraposition
  1. Bilden eine Implikation die durch Vertauschung von Voraussetzung und Behauptung der ursprünglichen Implikation entsteht. Anders ausgedrückt: Wir bilden die Umkehrung der ursprünglichen Implikation: Wenn in einem n-Eck F die Innenwinkelsumme 180^\circ beträgt, dann ist F ein Dreieck.
  2. Wir negieren in der Umkehrung die Voraussetzung und die Behauptung: Wenn in einem n-Eck F die Innenwinkelsumme verschieden von 180^\circ ist, dann ist F kein Dreieck.
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