Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende: Unterschied zwischen den Versionen

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Es sei <math>\overline{AB}</math> eine Strecke, die vollständig zur Ebene <math>\ \Epsilon</math> gehören möge.
 
Es sei <math>\overline{AB}</math> eine Strecke, die vollständig zur Ebene <math>\ \Epsilon</math> gehören möge.
  
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# Es gibt in <math>\ \Epsilon</math> genau Gerade <math>\ m</math>, die die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math> ist.
 
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# Es gibt in <math>\ \Epsilon</math> nicht mehr als eine Gerade <math>\ m</math>, die die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math> ist.
 
# Es gibt in <math>\ \Epsilon</math> nicht mehr als eine Gerade <math>\ m</math>, die die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math> ist.
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<u>Beweis der Existenzbehauptung:</u>
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Aus Gründen der effizienten Bezeichnung führen wir den Punkt <math>\ Q</math> ein, der zur Ebene <math>\ \Epsilon</math> aber nicht zur Geraden <math>\ AB</math> gehören möge.
 
Aus Gründen der effizienten Bezeichnung führen wir den Punkt <math>\ Q</math> ein, der zur Ebene <math>\ \Epsilon</math> aber nicht zur Geraden <math>\ AB</math> gehören möge.
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Bemerkung: Ihnen fällt sicherlich auf, dass wir nach dem Beweis von Satz V.8 die Existenz der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> gar nicht so ausführlich hätten führen müssen. Der Beweis von Satz V.8 steht momantan jedoch noch als Übungsaufgabe aus.
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Bemerkung: Ihnen fällt sicherlich auf, dass wir nach dem Beweis von Satz V.5 die Existenz der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> gar nicht so ausführlich hätten führen müssen. Der Beweis von Satz V.5 steht momentan jedoch noch als Übungsaufgabe aus.

Version vom 24. Juni 2010, 23:18 Uhr

Inhaltsverzeichnis

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Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende

Mittelsenkrechte

Eine Mittelsenkrechte ist das, was ihre Bezeichnung ausdrückt: eine Gerade, die eine Strecke halbiert und senkrecht auf ihr steht.

Definition VI.1: (Mittelsenkrechte)
Es sei \ m eine Gerade und \overline{AB} eine Strecke, die durch \ m im Punkt \ M geschnitten wird. \ m ist die Mittelsenkrechte von \overline{AB}, wenn
  1. m \perp AB
  2. \left| AM \right| = \left| MB \right|
Satz VI.1: (Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten)
Jede Strecke hat in jeder Ebene, zu der die Strecke vollständig gehört, genau eine Mittelsenkrechte.
Beweis von Satz VI.1

Es sei \overline{AB} eine Strecke, die vollständig zur Ebene \ \Epsilon gehören möge.

Behauptungen:
  1. Es gibt in \ \Epsilon genau Gerade \ m, die die Mittelsenkrechte von \overline{AB} ist.
  2. Es gibt in \ \Epsilon nicht mehr als eine Gerade \ m, die die Mittelsenkrechte von \overline{AB} ist.
Beweis der Existenzbehauptung:

Aus Gründen der effizienten Bezeichnung führen wir den Punkt \ Q ein, der zur Ebene \ \Epsilon aber nicht zur Geraden \ AB gehören möge.

Nr. Beweisschritt Begründung
(i) \exist M : |AM| = |MB| Element
(ii) \exist P \in AB,Q^+ : |\angle PMB | = 90 Element
(iii) \ PM ist Mittelsenkrechte von \overline{AB} Element

Bemerkung: Ihnen fällt sicherlich auf, dass wir nach dem Beweis von Satz V.5 die Existenz der Mittelsenkrechten von \overline{AB} gar nicht so ausführlich hätten führen müssen. Der Beweis von Satz V.5 steht momentan jedoch noch als Übungsaufgabe aus.

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