Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende: Unterschied zwischen den Versionen
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| + | Die Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke wurde bereits bewiesen (Satz III.1). | ||
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Version vom 24. Juni 2010, 23:30 Uhr
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Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende
Mittelsenkrechte
Eine Mittelsenkrechte ist das, was ihre Bezeichnung ausdrückt: eine Gerade, die eine Strecke halbiert und senkrecht auf ihr steht.
Definition VI.1: (Mittelsenkrechte)
- Es sei
eine Gerade und 
eine Strecke, die durch im Punkt 
geschnitten wird. ist die Mittelsenkrechte von , wenn
- Es sei
Satz VI.1: (Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten)
- Jede Strecke hat in jeder Ebene, zu der die Strecke vollständig gehört, genau eine Mittelsenkrechte.
Beweis von Satz VI.1
Es sei eine Strecke, die vollständig zur Ebene 
gehören möge.
Behauptungen:
- Es gibt in genau Gerade , die die Mittelsenkrechte von ist.
- Es gibt in nicht mehr als eine Gerade , die die Mittelsenkrechte von ist.
Beweis der Existenzbehauptung:
Aus Gründen der effizienten Bezeichnung führen wir den Punkt 
ein, der zur Ebene aber nicht zur Geraden 
gehören möge.
| Nr. | Beweisschritt | Begründung |
|---|---|---|
| (i) | 
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Element |
| (ii) | 
|
Element |
| (iii) |  ist Mittelsenkrechte von
|
Element |
Bemerkung: Ihnen fällt sicherlich auf, dass wir nach dem Beweis von Satz V.5 die Existenz der Mittelsenkrechten von gar nicht so ausführlich hätten führen müssen. Der Beweis von Satz V.5 steht momentan jedoch noch als Übungsaufgabe aus.
Beweis der Eindeutigkeitsbehauptung
Die Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke wurde bereits bewiesen (Satz III.1). Die Eindeutigkeit der Senkrechten in einem Punkt einer Geraden zu dieser Geraden wird/wurde mit Satz V.5 bewiesen.
