Pfeilklassen: Unterschied zwischen den Versionen
(→Pfeilklassen) |
(→Satz) |
||
| Zeile 12: | Zeile 12: | ||
| − | ===Satz=== | + | ====Satz==== |
Die Relation parallelgleich ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Pfeile des Raumes bzw. der Ebene.<br /><br /> | Die Relation parallelgleich ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Pfeile des Raumes bzw. der Ebene.<br /><br /> | ||
D.h. <math> \vec{a}</math> ist parallelgleich(<math>\sim</math>) zu <math>\vec{b}</math>, wenb gilt: <br /> | D.h. <math> \vec{a}</math> ist parallelgleich(<math>\sim</math>) zu <math>\vec{b}</math>, wenb gilt: <br /> | ||
Version vom 23. Mai 2013, 14:07 Uhr
Pfeilklassen
Definition
Pfeil 
Es seien 
und 
zwei (nicht notwendigerweise) verschiedene Punkte. Der Pfeil ist das geordnete Paar 
. heißt Anfangspunkt des Pfeils , heißt Endpunkt des Pfeils . Jedem Pfeil ist eine Punktmenge zugehörig, Es handelt sich dabei um die Menge der Punkte der Strecke 
. Sollte der Anfangspunkt eines Pfeils mit dem Endpunkt dieses Pfeils zusammenfallen spricht man vom Nullpfeil 
. Zwei Pfeile und 
haben einen Punkt gemeinsam falls ihre Punktmengen einen Punkt gemeinsam haben.
Definition
Zwei Pfeile und heißen parallelgleich, wenn gilt:
-
-
- und sind gleichorientiert.
Satz
Die Relation parallelgleich ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Pfeile des Raumes bzw. der Ebene.
D.h. 
ist parallelgleich(
) zu 
, wenb gilt:
a) Reflexivität: 
b) Symmetrie: 
c) Transitivität: 
Definition
Eine Pfeilklasse ist eine Äquivalenzklasse bzgl der Äquivalenzrelation parallelgleich,
d.h, mit der Pfeilklasse 
bezeichnet man die Menge aller zu dem Pfeil parallelgleicen Pfeile der Ebene bzw. des Raumes:
Rechenregeln der Addition von Pfeilklassen
Für beliebige Pfeilklassen 
gilt:
i) 
gilt 
(Kommuntativität der Addition)
ii) 
gilt 
(Assoziativität der Addition)
iii) Es existiert eine Pfeilklasse 
, sodass gilt 
(neutrales Element bzgl. der Addition, Nullpfeilklasse)
iv) Zu jedem existiert ein 
mit 
(inverses Element)
