Aktuelle Version vom 30. Juni 2013, 16:39 Uhr

Aus der Vorlesung vom 15.05.2012

Inhaltsverzeichnis

1 Strecken, intuitiv
2 Längenmessung
- 2.1 Messen: Andere Länder andere Sitten
- 2.2 Die Idee der Längenmessung
3 Der Abstand zweier Punkte
4 Der Begriff der Strecke
- 4.1 Wo sind die Definitionsversuche?
  - 4.1.1 Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke)
  - 4.1.2 Definition II.4: (Länge einer Strecke)
5 Halbgeraden bzw. Strahlen
- 5.1 So ist es gemeint
- 5.2 Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl)

Strecken, intuitiv

Punkte, Geraden und Ebenen können wir in unserer Geometrie nicht definieren. Für Strecken wird uns das gelingen.

Eine intuitive Vorstellung von Strecken haben wir schon: Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Diese Vorstellung gilt es nun zu präzisieren.

Grundlegend dafür, um was für eine konkrete Strecke es sich jeweils handelt scheint die Angabe zweier Punkte zu sein (kürzeste Verbindung zweier Punkte).

Das Attribut kürzeste deutet auf das Messen von Längen hin. Das Messen von Längen wird dann auch der Knackpunkt bezüglich einer Definition des Begriffs der Strecke sein.

Längenmessung

Messen: Andere Länder andere Sitten

Rory, ein irischer Schüler, wechselt für ein Jahr an die IGH im Hasenleiser. Die Beibehaltung gewisser Gewohnheiten aus Irland könnte für Rory in Deutschland Probleme mit sich bringen: In Irland schmeckt das Guinness besser und vor allem wird es in der Maßeinheit Pint ausgeschenkt. Ein Pint ist etwas mehr als ein halber Liter: 0,56826125 l.

Rory ist ein sehr ordentlicher Schüler und hat sein Schullineal aus Irland mitgebracht. Zum Messen würde dieses in Deutschland allerdings nur dann etwas nützen, wenn es über eine zweite Skale in cm verfügen würde.

Die Idee der Längenmessung

Strecken werden bereits in Klasse 1 gemessen. Was ist das eigentlich, das Messen von Strecken. Wie würden Sie es den Schülern der Klassenstufen für die Sie ausgebildet werden erklären? Ergänzen Sie hier:

Der Abstand zweier Punkte

Die ersten beiden Abstandsaxiome

Axiom II.1: (Abstandsaxiom)

Zu je zwei Punkten $\ A$ und $\ B$ gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl $\ d$ mit $d=0:\Longleftrightarrow A=B$ .

Definition II.1: (Abstand)

Der Abstand zweier Punkte $\ A$ und $\ B$ ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten $\ A$ und $\ B$ zugeordnet werden kann.
Schreibweise: $d = \left| AB \right|$ .

Axiom II.2:

Für zwei beliebige Punkte $\ A$ und $\ B$ gilt $\left| AB \right| = \left| BA \right|$ .

Die Dreiecksungleichung

Schüler entdecken die Dreiecksungleichung

Dreieckskonstruktionen sind seit jeher fester Bestandteil des Geometrieunterrichts in der Schule. Neben solchen allgemeinen Zielen wie Erziehung zur Exaktheit und Sauberkeit bei Konstruktionen, geht es bei diesen Aufgaben auch darum, dass die Schüler die Gesetzmäßigkeiten ihrer Umwelt durch eigene Tätigkeit selbst erfahren.

Die einfachsten Dreieckskonstruktionen sind die, bei denen die Längen der drei Seiten eines Dreiecks gegeben sind. In der Sprache der Abstände: Alle drei Abstände die die Eckpunkte des Dreiecks zueinander haben sind gegeben.

Abstände sind nach dem Abstandsaxiom reelle Zahlen. (Maßeinheiten wie m und cm sind in der „reinen“ Mathematik irrelevant.)

Der Lehrer, der Konstruktionsaufgaben auf das eigentliche Generieren einer Zeichnung durch die Schüler reduziert, verschenkt eine Reihe von Potenzen hinsichtlich verschiedenster Ziele des Mathematikunterrichts. Stellvertretend sei in diesem Zusammenhang das Begründen genannt.

Aus didaktischer Sicht werden Konstruktionsaufgaben zu einem bestimmten Problemkreis erst dann vollständig, wenn die Schüler sich sowohl mit Aufgaben mit mehreren Lösungsmöglichkeiten als auch mit unlösbaren Aufgaben auseinandersetzen müssen.

Experimentieren Sie mit dem folgenden Geogebraapplet und klassifizireren Sie die Typen von Konstruktionsaufgaben, die sich für Dreieckskonstruktionen nach SSS ergeben:

Das Axiom der Dreiecksungleichung

Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)

Falls $\operatorname{koll} \left( ABC \right)$ , dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind $\ A$ , $\ B$ und $\ C$ kollinear.

Übung zum Axiom

Welchen Teil des Axioms demonstriert das folgende Applet?

Definitionen und Sätze

Definition II.2: (Zwischenrelation)

Ein Punkt $\ B$ liegt zwischen zwei Punkten $\ A$ und $\ C$ , wenn gilt:

$\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|$ und
$\ A$ , $\ B$ und $\ C$ sind paarweise verschieden.

Schreibweise: $\operatorname{Zw} \left( A, B, C \right)$

Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Sätze:

Satz II.1

Aus $\operatorname{Zw} \left( A, B, C \right)$ folgt $\operatorname{Zw} \left( C, B, A \right)$ .

Beweis von Satz II.1

Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

Nr.	Beweisschritt	Begründung
1)	$\operatorname{Zw} (A, B, C)$	Vor.
2)	$\left\| AB \right\| +\left\| BC \right\| =\left\| AC \right\|$	1), Def. Zwischenrelation
3)	$\left\| BC \right\| +\left\| AB \right\| =\left\| AC \right\|$	2), Kommutativgesetz
4)	$\left\| CB \right\| +\left\| BA \right\| =\left\| CA \right\|$	3), Axiom II/2
5)	$\operatorname(Zw) (C, B, A)$	4), Def. Zwischenrelation

--*osterhase* 15:07, 1. Jun. 2012 (CEST)
Perfekt! --*m.g.* 05:51, 3. Jun. 2012 (CEST)

Satz II.2:

Aus $\operatorname{Zw} \left( A, B, C \right)$ folgt $\operatorname{koll} \left( A, B, C \right)$ .

Beweis von Satz II.2

Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

Nr.	Beweisschritt	Begründung	Verbesserung
1)	$\operatorname{Zw} (A, B, C)$	Vor.	i.O.
2)	Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): \left\| AB \right\| +\left\| BC \left\| = AC \right\|	1), Def. Zwischenrelation	i.O.
3)	$\operatorname{koll}(A, B, C)$	2), Axiom II/2	Axiom II/3 (2. Teil)

--*osterhase* 14:49, 1. Jun. 2012 (CEST)
Perfekt! --*m.g.* 05:16, 3. Jun. 2012 (CEST)
Ich glaube, dass bei Beweisschritt 3) in der Begründung ein kleiner Flüchtigkeitsfehler unterlaufen ist und das Axiom II/3 (Dreiecksungleichung) gemeint war.--Tchu Tcha Tcha 12:38, 3. Jun. 2012 (CEST)
@Tchu Tcha Tcha Sie haben natürlich recht. So ist das, manchmal liest man gerade das, was man lesen möchte. Ich habe es oben mal verbessert.

Satz II.3

Es sei $\operatorname{koll} \left( A, B, C \right)$ mit $\ A, B, C$ sind paarweise verschieden.
Dann gilt genau eine der Zwischenrelationen, d.h. entweder $\operatorname{Zw} \left( A, B, C \right)$ oder $\operatorname{Zw} \left( A, C, B \right)$ oder $\operatorname{Zw} \left( B, A, C \right)$ .

Beweis von Satz II.3:

Übungsaufgabe 5.1

Der Begriff der Strecke

Wo sind die Definitionsversuche?

Wir haben dem Ringen um die Definitionen eine eigene Datei spendiert:

Begriff der Strecke, verschiedene Definitionsversuche SoSe_12

Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke)

Es seien $\ A$ und $\ B$ zwei verschiedene Punkte. Die Menge aller Punkte, die zwischen den Punkten $A$ und $B$ liegen, heißt offene Strecke $\overline{AB}$ .

Die Vereinigungsmenge der offenen Strecke $\overline{AB}$ mit der Menge, die aus den Punkten $A$ und $B$ besteht, heißt Strecke $\overline{AB}$ .

Die Punkte $A$ und $B$ heißen Endpunkte der Strecke $\overline{AB}$ .

Die Definition(en) in formalerer Darstellung: Versuchen Sie zu ergänzen:

offene Strecke Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): \overline{AB}:=\left{P|\operatorname{Zw} (A, P, B)\right}

}

Strecke Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): \overline{AB}:=\left{P|\operatorname{Zw} (A, P, B)\right} \cup \left{A, B\right}

--*osterhase* 10:29, 4. Jun. 2012 (CEST) korrekt --*m.g.* 08:50, 7. Jun. 2012 (CEST)

Definition II.4: (Länge einer Strecke)

Unter der Länge der Strecke $\overline{AB}$ versteht man den Abstand, den ihre Endpunkte $A$ und $B$ zueinander haben.
Kurzschreibweise: $\left| \overline{AB} \right|$

Die Definition in formalerer Schreibweise:(Ergänzen Sie selbst)

$\left| \overline{AB} \right| :=$

Halbgeraden bzw. Strahlen

So ist es gemeint

Hinweis: Klicken Sie auf das Symbol rechts oben (neu laden), damit alles richtig angezeigt wird.
Manipulieren Sie dann erst P und dann B und A.

Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl)

Definition (Halbgerade $AB^+$ ):Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): \ AB^+ := \{P|\operatorname(Zw) (A, P, B) \vee \operatorname(Zw) (A, B, P) \} \cup \{A, B}

--*m.g.* 17:39, 30. Jun. 2013 (CEST)

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-{| class="wikitable sortable"
+{| class="wikitable"
-!Bewisschritt!!Begründung
+!Nr.!!Beweisschritt!!Begründung
 |-
-| 1) Zw (A, B, C) || Vor.
+| 1)|| <math>\operatorname{Zw} (A, B, C)</math> || Vor.
+|-
+| 2) ||<math>\left| AB \right| +\left| BC \right| =\left| AC \right|</math>  || 1), Def. Zwischenrelation
 |-
-| 2) |AB| + |BC| = |AC| || 1), Def. Zwischenrelation
+| 3) ||<math>\left| BC \right| +\left| AB \right| =\left| AC \right|</math>  || 2), Kommutativgesetz
 |-
-| 3) |BC| + |AB| = |AC|) || 2), Kommutativgesetz
+| 4) ||<math>\left| CB \right| +\left| BA \right| =\left| CA \right|</math>  || 3), Axiom II/2
 |-
-| 4  |CB| + |BA| = |CA| || 3), Axiom II/2
+| 5) ||<math>\operatorname(Zw) (C, B, A)</math> || 4), Def. Zwischenrelation
-|-
-| 5) Zw (C, B, A)|| 4), Def. Zwischenrelation
 |}
---[[Benutzer:*osterhase*|*osterhase*]] 14:39, 1. Jun. 2012 (CEST)
+--[[Benutzer:*osterhase*|*osterhase*]] 15:07, 1. Jun. 2012 (CEST)<br />
+Perfekt! --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 05:51, 3. Jun. 2012 (CEST)
 ===== Satz II.2: =====
@@ Zeile 110: / Zeile 111: @@
 :: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)
-{| class="wikitable sortable"
+{| class="wikitable"
-!Bewisschritt!!Begründung
+!Nr. !!Beweisschritt!!Begründung!!Verbesserung
 |-
-| 1) (Zw) (A, B, C)  || Vor.
+| 1) ||<math> \operatorname{Zw} (A, B, C) </math>  || Vor.||i.O.
 |-
-| 2) |AB| + |BC| = |AC|  || 1), Def. Zwischenrelation
+| 2) ||<math> \left| AB \right| +\left| BC \left| = AC \right| </math>
+|   1), Def. Zwischenrelation ||i.O.
 |-
-| 3) koll(A, B, C)   || 2), Axion II/2
+| 3) ||<math>\operatorname{koll}(A, B, C)</math>    || 2), Axiom II/2||Axiom II/3 (2. Teil)
 |}
---[[Benutzer:*osterhase*|*osterhase*]] 14:49, 1. Jun. 2012 (CEST)
+--[[Benutzer:*osterhase*|*osterhase*]] 14:49, 1. Jun. 2012 (CEST)<br />
+Perfekt! --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 05:16, 3. Jun. 2012 (CEST)<br />Ich glaube, dass bei Beweisschritt 3) in der Begründung ein kleiner Flüchtigkeitsfehler unterlaufen ist und das Axiom II/3 (Dreiecksungleichung) gemeint war.--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 12:38, 3. Jun. 2012 (CEST)<br />
+@Tchu Tcha Tcha Sie haben natürlich recht. So ist das, manchmal liest man gerade das, was man lesen möchte. Ich habe es oben mal verbessert.
 ===== Satz II.3 =====
@@ Zeile 128: / Zeile 132: @@
 = Der Begriff der Strecke=
+==Wo sind die Definitionsversuche?==
+Wir haben dem Ringen um die Definitionen eine eigene Datei spendiert:
+[[Begriff der Strecke, verschiedene Definitionsversuche SoSe_12 ]]
 ==== Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) ====
-::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)
+::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Die Menge aller Punkte, die zwischen den Punkten <math>A</math> und <math>B</math> liegen, heißt offene Strecke <math>\overline{AB}</math>.
-<br />
+:: Die Vereinigungsmenge der offenen Strecke <math>\overline{AB}</math> mit der Menge, die aus den Punkten <math>A</math> und <math>B</math> besteht, heißt Strecke <math>\overline{AB}</math>.
-===== Definition II.3 - (1. Vorschlag Kopernikus Strecke, der Endpunkte) =====
+::Die Punkte <math>A</math> und <math>B</math> heißen Endpunkte der Strecke <math>\overline{AB}</math>.
-::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte einer Punktmenge. Wenn alle Elemente dieser Menge zwischen A und B liegen, dann sind A und B Endpunkte einer Strecke.--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 19:04, 20. Mai 2012 (CEST)<br /><br />
-'''Anmerkung von Buchner zur Definition von Kopernikus''' <br />
-::Elemente, die gut an Ihrer Definition sind:<br />
-::- zwei verschiedene Punkte<br />
-::- Punktmenge<br />
-::- Elemente, die zwischen A und B liegen<br /><br />
-::Was in Ihrere Definition nicht klar wird ist: Was ist denn jetzt eine Strecke? Sie haben Strecke nicht definiert, sondern nur Endpunkte einer Strecke. Das wäre erst der zweite Schritt. Versuchen Sie (oder jemand anderes), Schritt eins nachzuholen (das muss explizit dastehen, also z.B. "Die Strecke <math>\overline{AB} </math> ist...")--[[Benutzer:Buchner|Buchner]] 17:21, 21. Mai 2012 (CEST)
-<br />
-===== Definition II.3 - (Vorschlag Kopernikus zweiter Versuch) =====
+Die Definition(en) in formalerer Darstellung: Versuchen Sie zu ergänzen:<br />
-'''(2.1 Vorschlag Kopernikus <span style="color: red">Strecke</span>)'''
+* offene Strecke <math>\overline{AB}:=\left{P|\operatorname{Zw} (A, P, B)\right}</math>}
-::Die Strecke <math>\overline{AB} </math> ist die Menge aller Punkte, die vereinigt mit A und B zwischen A und B liegen.--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 15:52, 22. Mai 2012 (CEST)
+* Strecke <math>\overline{AB}:=\left{P|\operatorname{Zw} (A, P, B)\right} \cup \left{A, B\right}</math>
+--[[Benutzer:*osterhase*|*osterhase*]] 10:29, 4. Jun. 2012 (CEST) korrekt --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 08:50, 7. Jun. 2012 (CEST)
-'''(2.2 Vorschlag Kopernikus <span style="color: red">Endpunkte</span>)''' <span style="color: red"><br />::(Achtung !!! Strecke muss hierbei bereits Def. sein)</span>'''
+==== Definition II.4: (Länge einer Strecke)====
-::Es sei <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte einer Strecke. Wenn alle Punkte dieser Strecke <math>\overline{AB} </math> zwischen A und B liegen, dann sind A und B Endpunkte der Strecke <math>\overline{AB} </math>.--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 15:52, 22. Mai 2012 (CEST)
+::Unter der Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math> versteht man den Abstand, den ihre Endpunkte <math>A</math> und <math>B</math> zueinander haben.<br />Kurzschreibweise: <math>\left| \overline{AB} \right|</math>
-<br />
+Die Definition in formalerer Schreibweise:(Ergänzen Sie selbst)<br />
-'''(2.3. Vorschlag Kopernikus  <span style="color: red">Stecke und Endpunkte </span>) '''
-::Die Strecke <math>\overline{AB} </math> ist die Menge aller Punkte, die vereinigt mit A und B zwischen A und B liegen. A und B sind hierbei die Endpunkte.--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 15:52, 22. Mai 2012 (CEST)
-<br />
-=== Anmerkung von Buchner zu Definition II.3 - (Vorschlag Kopernikus zweiter Versuch) ===
+* <math>\left| \overline{AB} \right| := </math>
-Ihr letzter Vorschlag gefällt mir am besten - man würde die Endpunkte nicht seperat definieren, sondern wie Sie es hier gemacht haben zur Definition der Strecke dazuschreiben. Der erste Satz ist noch etwas ungewöhnlich formuliert (was heißt "vereinigt mit A und B zwischen A und B?). Besser:<br />
-'''Definition II.3 (Strecke, Endpunkte einer Strecke)'''<br />
-::Es seien A und B zwei verschiedene Punkte. Die Strecke <math>\overline{AB} </math> ist die Vereinigung der Menge aller Punkte, die zwischen A und B liegen mit der Menge, die nur die Punkte A und B enthält. A und B heißen Endpunkte der Strecke <math>\overline{AB} </math>.<br /><br />
-Einfacher ist die formale Schreibweise:<br />
-'''Definition II.3 (Strecke, Endpunkte einer Strecke)'''<br />
-::Es seien A und B zwei verschiedene Punkte. Unter der Strecke <math>\overline{AB} </math> versteht man die folgende Punktmenge:
-::<math>\overline{AB} := \{P|\operatorname(Zw) (A, P, B) \}  \cup  \{A, B\} </math>. A und B heißen Endpunkte der Strecke <math>\overline{AB} </math>.<br />
---[[Benutzer:Buchner|Buchner]] 17:13, 23. Mai 2012 (CEST)
-===== Definition II.4: (Länge einer Strecke) =====
-::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)
-===== Vorschlag: Definition II.4: (Länge einer Strecke) =====
-::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Wenn <math>\ A</math> und <math>\ B</math> die Endpunkte der Strecke <math>\overline{AB} </math> sind, so ist ihr Abstand <math>\ d </math> zueinander die Länge <math> \left| AB \right|</math> der Strecke <math>\overline{AB} </math> . --[[Benutzer:jaegert01|jaegert01]] 12:06, 25. Mai 2012 (CEST)
-<br /><br />
-===== Zum Vorschlag von jaegert01: Definition II.4: (Länge einer Strecke) =====
-Inhaltlich absolut richtig- sprachlich noch etwas zu holprig... Einfach nochmal versuchen!--[[Benutzer:Buchner|Buchner]] 16:22, 31. Mai 2012 (CEST)
 = Halbgeraden bzw. Strahlen =
@@ Zeile 184: / Zeile 162: @@
 ===== Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====
-:Definition (Halbgerade <math>AB^+</math>): (ergänzen Sie)
+:Definition (Halbgerade <math>AB^+</math>):<math> \ AB^+ := \{P|\operatorname(Zw) (A, P, B) \vee \operatorname(Zw) (A, B, P)  \} \cup  \{A, B}</math>
+--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:39, 30. Jun. 2013 (CEST)
 <!--- Das, was hier drunter steht muss stehen bleiben, also oberhalb dieses Kommentars Änderungen einfügen --->

Abstand, Anordnung, Strecke SoSe12: Unterschied zwischen den Versionen