Lösung von Aufg. 12.04 SoSe 13: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 18. Juli 2013, 22:34 Uhr

Aufgabe 12.04

Die Gerade $t$ sei Tangente an den Kreis $k$ (Mittelpunkt $M$ ) im Punkt $B$ . Beweisen Sie: $t \perp \overline{MB}$ .

Lösung

Annahme:

$t \not \perp \overline{MB}$ .

Nach der Existenz des Lotes von $M$ auf $t$ muss es jetzt eine Strecke $\overline{MA}$ geben, die das Lot von $M$ auf $t$ ist. Selbstverständlich ist $A$ verschieden von $B$ , da ansonsten $t \perp \overline{MB}$ gelten würde. Weil $t$ Tangente an $k$ ist, kann $A$ nicht zu $k$ gehören.

Fall 1:

$A$ liegt außerhalb von $k$ . Der Abstand von $A$ zu $M$ ist nun größer als der Radius $|\overline{MB}|$ . $\overline{MB}$ liegt jedoch in $\overline{MAB}$ dem rechten Winkel gegenüber und muss demzufolge die längst der Seiten von $\overline{MAB}$ sein.

Fall 2:

$A$ liegt innerhalb von $k$ . Wir tragen auf $AB^-$ die Länge $|AB|$ ab und erhalten auf $t$ den Punkt $B^*$ . Wegen $\overline{AB}\ \tilde= \overline{AB^*}$ und $MA \perp t$ ist $MA$ die Mittelsenkrechte von $\overline{BB^*}$ . Wegen des Mittelsenkrechtenkriteriums muss jetzt $\overline{MB} \tilde= \overline{MB^*}$ sein. Da nun $\overline{MB}$ ein Radius von $k$ ist, muss auch $B^*$ zu $k$ gehören. Damit hätte $t$ zwei verschiedene Punkte mit $k$ gemeinsam, was im Widerspruch dazu steht, dass $t$ Tangente an $k$ ist.

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 :<math>A</math> liegt außerhalb von <math>k</math>. Der Abstand von <math>A</math> zu <math>M</math> ist nun größer als der Radius <math>|\overline{MB}|</math>. <math>\overline{MB}</math> liegt jedoch in <math>\overline{MAB}</math> dem rechten Winkel gegenüber und muss demzufolge die längst der Seiten von <math>\overline{MAB}</math> sein.<br />
 '''Fall 2:'''<br />
-: <math>A</math> liegt innerhalb von <math>k</math>. Wir tragen auf <math>AB^-</math> die Länge <math>|AB|</math> ab und erhalten auf <math>t</math> den Punkt <math>B^*</math>. Wegen <math>\overline{AB\ \tilde= \overline{Ab^*}</math> und <math>MA \perp t</math> ist <math>MA</math> die Mittelsenkrechte von <math>\overline{BB^*}</math>. Wegen des Mittelsenkrechtenkriteriums muss jetzt <math>\overline{MB} \tilde= \overline{MB^*}</math> sein. Da nun <math>\overline{MB}</math> ein Radius von <math>k</math> ist, muss auch <math>B^*</math> zu <math>k</math> gehören. Damit hätte <math>t</math> zwei verschiedene Punkte mit <math>k</math> gemeinsam, was im Widerspruch dazu steht, dass <math>t</math> Tangente an <math>k</math> ist.
+: <math>A</math> liegt innerhalb von <math>k</math>. Wir tragen auf <math>AB^-</math> die Länge <math>|AB|</math> ab und erhalten auf <math>t</math> den Punkt <math>B^*</math>. Wegen <math>\overline{AB}\ \tilde= \overline{AB^*}</math> und <math>MA \perp t</math> ist <math>MA</math> die Mittelsenkrechte von <math>\overline{BB^*}</math>. Wegen des Mittelsenkrechtenkriteriums muss jetzt <math>\overline{MB} \tilde= \overline{MB^*}</math> sein. Da nun <math>\overline{MB}</math> ein Radius von <math>k</math> ist, muss auch <math>B^*</math> zu <math>k</math> gehören. Damit hätte <math>t</math> zwei verschiedene Punkte mit <math>k</math> gemeinsam, was im Widerspruch dazu steht, dass <math>t</math> Tangente an <math>k</math> ist.
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