Lösung von Aufg. 11.03 SoSe 13: Unterschied zwischen den Versionen
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− | + | ==Aufgabe 11.03 == | |
+ | Beweisen Sie die Existenz und die Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt auf eine Gerade.<br /> | ||
==Lösung== | ==Lösung== | ||
+ | ===Existenz=== | ||
+ | [[Bild:Lot.png|500px]] | ||
+ | |||
+ | {| class="wikitable center" | ||
+ | |+ EXISTENZ | ||
+ | |- style="background: #DDFFDD;" | ||
+ | ! | ||
+ | ! Beweisschritt | ||
+ | ! Begründung | ||
+ | |- | ||
+ | ! style="background: #FFDDDD;"|(I) | ||
+ | | Konstruiere einen Punkt N auf g.<br />Fall 1: Falls <math>P1N \perp g</math>, dann ist <math>\overline{P1N}</math> unser Lot.<br />Fall 2: <math>P1N \not\perp g</math>, dann weiter mit (II) | ||
+ | | Konstruktion, (Gerade ist Menge von Punkten) | ||
+ | |- | ||
+ | ! style="background: #FFDDDD;"|(II) | ||
+ | | Antragen von <math>\alpha1: \alpha1 \tilde= \alpha2</math> | ||
+ | | Konstruktion, Winkelkonstruktionsaxiom | ||
+ | |- | ||
+ | ! style="background: #FFDDDD;"|(III) | ||
+ | | Antragen von <math>|NP|1: |NP1| \tilde=\ |NP2|</math> | ||
+ | | Konstruktion, Axiom vom Lineal | ||
+ | |- | ||
+ | ! style="background: #FFDDDD;"|(IV) | ||
+ | | Antragen von <math>|NL| \tilde=\ |NL|</math> | ||
+ | | trivial | ||
+ | |- | ||
+ | ! style="background: #FFDDDD;"|(V) | ||
+ | | <math>\overline{LNP1} \tilde=\ \overline{LNP2}</math> | ||
+ | | (II), (III), (IV), SWS | ||
+ | |- | ||
+ | ! style="background: #FFDDDD;"|(VI) | ||
+ | | <math>\angle NLP1 \tilde=\ \angle NLP2</math> | ||
+ | | beides rechte Winkel --> <math>\overline{PN}</math> ist Lot auf g. | ||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | Dieser Beweis wurde im SoSe 2010 von Studierenden selbständig im Wiki erbracht. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 23:44, 18. Jul. 2013 (CEST) | ||
+ | ===Eindeutigkeit=== | ||
+ | Es sei <math>\overline{PL}</math> das Lot von <math>P</math> auf <math>g</math>. Annahme: <math>\overline{PA}</math> mit <math>A \not = L</math> ist auch Lot von <math>P</math> auf <math>g</math>. Dann hätte das Dreieck <math>\overline{PLA}</math> zwei rechte Innenwinkel, was ein Widerspruch zu den Folgerungen aus dem schwachen Außenwinkelsatz ist.<br /><br />--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 23:48, 18. Jul. 2013 (CEST)<br /> | ||
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Aktuelle Version vom 18. Juli 2013, 23:48 Uhr
Aufgabe 11.03Beweisen Sie die Existenz und die Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt auf eine Gerade.
LösungExistenz
EindeutigkeitEs sei das Lot von auf . Annahme: mit ist auch Lot von auf . Dann hätte das Dreieck zwei rechte Innenwinkel, was ein Widerspruch zu den Folgerungen aus dem schwachen Außenwinkelsatz ist. |