Lösung von Aufg. 11.05 SoSe 13: Unterschied zwischen den Versionen

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Beweisen Sie: Jedes Dreieck hat genau einen Umkreis.<br />
  
  
 
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===Existenz===
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Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. Zunächst schneiden sich die Mittelsenkrechten <math>m_c</math> und <math>m_b</math> im Punkt <math>M</math>. (Wären sie parallel, müssten auch <math>AB</math> und <math>BC</math> parallel sein und <math>\overline{ABC}</math> wäre kein Dreieck.) Nach den Eigenschaften von Mittelsenkrechten gilt: <math>|MA|=|MB|</math> und <math>|MB|=|MC|</math>. Nach der Tarnsitivität der Gleicheitsrelation gilt nun: <math>|MA|=|MC|</math>. Nach dem Mittelsenkrechtenkriterium geht jetzt <math>m_b</math> auch durch <math>M</math>. Der Kreis um <math>M</math> durch <math>A</math> ist nun der gesuchte Umkreis.<br /><br />--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 23:59, 18. Jul. 2013 (CEST)<br />
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===Eindeutigkeit===
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Indirekt mit Widerspruch.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 00:02, 19. Jul. 2013 (CEST)
 
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Aktuelle Version vom 19. Juli 2013, 00:02 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 10.05

Beweisen Sie: Jedes Dreieck hat genau einen Umkreis.


Lösung

Existenz

Es sei \overline{ABC} ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. Zunächst schneiden sich die Mittelsenkrechten m_c und m_b im Punkt M. (Wären sie parallel, müssten auch AB und BC parallel sein und \overline{ABC} wäre kein Dreieck.) Nach den Eigenschaften von Mittelsenkrechten gilt: |MA|=|MB| und |MB|=|MC|. Nach der Tarnsitivität der Gleicheitsrelation gilt nun: |MA|=|MC|. Nach dem Mittelsenkrechtenkriterium geht jetzt m_b auch durch M. Der Kreis um M durch A ist nun der gesuchte Umkreis.

--*m.g.* 23:59, 18. Jul. 2013 (CEST)

Eindeutigkeit

Indirekt mit Widerspruch.--*m.g.* 00:02, 19. Jul. 2013 (CEST) Zurück zu: Serie 11 SoSe 2013

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