Serie 03: Unterschied zwischen den Versionen
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==Aufgabe 3.1== | ==Aufgabe 3.1== | ||
(alles in ein und derselben Ebene) | (alles in ein und derselben Ebene) | ||
Es sei <math>k</math> ein Kreis mit dem Mittelpunkt <math>M</math> und dem Radius <math>r</math>. Ferner sei <math>g</math> eine Gerade, die durch den Mittelpunkt von k geht. Schließlich sei <math>Z</math> der gemeinsame Schnittpunkt der Senkrechten in <math>M</math> auf <math>g</math> mit <math>k</math>. Wir definieren eine Abbildung <math>\varphi</math> von <math>k\setminus_Z</math> auf <math>g</math>: <math>\forall P \in k\setminus_Z: \varphi(P)=ZP \cap g</math>. Ist <math>\varphi</math> fixpunktfrei? | Es sei <math>k</math> ein Kreis mit dem Mittelpunkt <math>M</math> und dem Radius <math>r</math>. Ferner sei <math>g</math> eine Gerade, die durch den Mittelpunkt von k geht. Schließlich sei <math>Z</math> der gemeinsame Schnittpunkt der Senkrechten in <math>M</math> auf <math>g</math> mit <math>k</math>. Wir definieren eine Abbildung <math>\varphi</math> von <math>k\setminus_Z</math> auf <math>g</math>: <math>\forall P \in k\setminus_Z: \varphi(P)=ZP \cap g</math>. Ist <math>\varphi</math> fixpunktfrei? | ||
==Aufgabe 3.2== | ==Aufgabe 3.2== | ||
| − | Es sei <math>X=\left\{ (x,0)|x\in \mathbb{R} \right\}</math> | + | Es sei <math>X=\left\{ (x,0)|x\in \mathbb{R} \right\}</math>. Wir definieren auf <math>X</math> die folgende Abbildung <math>\varphi</math>: <math>\forall (x,0) \in X: \varphi((x,0))=(x, \sin^2x)</math>. Jedes Element des <math>\mathbb{R}^2</math> fassen wir als Punkt auf. Hat <math>\varphi</math> Fixpunkte? Wenn ja welche? (Geogebra hilft) |
| + | ==Aufgabe 3.3== | ||
| + | Unter der Menge aller Punkte wollen wir die Menge aller Pixel eines LCD-Bildschirms <math>B</math> mit FullHD-Auflösung (1920 x 1080) verstehen. Jedes dieser Pixel <math>P </math>hat bezüglich eines bildschirmeigenen Koordinatensystems die Koordinaten <math>\left(x_p, y_p\right)</math>. Wir definieren auf den Pixeln unseres Bildschirms <math>B</math> die folgende Abbildung <math>\varphi</math>: <math>\forall P \in B: \varphi(P)=\left(\operatorname zufallsbereich(0;1920),\operatorname zufallsbereich(0;1080)\right)</math><sup>1</sup>. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass <math>\varphi</math> einen Fixpunkt hat? | ||
| − | ==Aufgabe 3. | + | |
| + | <sup>1</sup> müsste das nicht φ(P)=(zufallsbereich(0;1919),zufallsbereich(0;1079)) heißen, weil es nur 1920x1080 Pixel gibt (mit allen rechnerischen Konsequenzen)? [[Benutzer:Wexstabenverbuxler|Dr.plag.Schavan]] ([[Benutzer Diskussion:Wexstabenverbuxler|Diskussion]]) 13:02, 1. Aug. 2014 (CEST) | ||
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| + | ==Aufgabe 3.4== | ||
Beweisen Sie: wenn eine Bewegung <math>\varphi</math> zwei verschiedene Fixpunkte <math>A</math> und <math>B</math> hat, dann hat ist die Gerade <math>AB</math> eine Fixpunktgerade bezüglich <math>\varphi</math>. | Beweisen Sie: wenn eine Bewegung <math>\varphi</math> zwei verschiedene Fixpunkte <math>A</math> und <math>B</math> hat, dann hat ist die Gerade <math>AB</math> eine Fixpunktgerade bezüglich <math>\varphi</math>. | ||
| − | ==Aufgabe 3. | + | |
| + | ==Aufgabe 3.5== | ||
Beweisen Sie: Wenn drei nicht kollineare Punkte <math>A,B,C</math> Fixpunkte der Bewegung <math>\varphi</math> sind, so ist <math>\varphi</math> die identische Abbildung. | Beweisen Sie: Wenn drei nicht kollineare Punkte <math>A,B,C</math> Fixpunkte der Bewegung <math>\varphi</math> sind, so ist <math>\varphi</math> die identische Abbildung. | ||
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[[Kategorie:Elementargeometrie]] | [[Kategorie:Elementargeometrie]] | ||
Aktuelle Version vom 1. August 2014, 12:02 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Aufgabe 3.1
(alles in ein und derselben Ebene)
Es sei 
ein Kreis mit dem Mittelpunkt 
und dem Radius 
. Ferner sei 
eine Gerade, die durch den Mittelpunkt von k geht. Schließlich sei 
der gemeinsame Schnittpunkt der Senkrechten in auf mit . Wir definieren eine Abbildung 
von 
auf : 
. Ist fixpunktfrei?
Aufgabe 3.2
Es sei 
. Wir definieren auf 
die folgende Abbildung : 
. Jedes Element des 
fassen wir als Punkt auf. Hat Fixpunkte? Wenn ja welche? (Geogebra hilft)
Aufgabe 3.3
Unter der Menge aller Punkte wollen wir die Menge aller Pixel eines LCD-Bildschirms 
mit FullHD-Auflösung (1920 x 1080) verstehen. Jedes dieser Pixel 
hat bezüglich eines bildschirmeigenen Koordinatensystems die Koordinaten 
. Wir definieren auf den Pixeln unseres Bildschirms die folgende Abbildung : 
1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass einen Fixpunkt hat?
1 müsste das nicht φ(P)=(zufallsbereich(0;1919),zufallsbereich(0;1079)) heißen, weil es nur 1920x1080 Pixel gibt (mit allen rechnerischen Konsequenzen)? Dr.plag.Schavan (Diskussion) 13:02, 1. Aug. 2014 (CEST)
Aufgabe 3.4
Beweisen Sie: wenn eine Bewegung zwei verschiedene Fixpunkte 
und hat, dann hat ist die Gerade 
eine Fixpunktgerade bezüglich .
Aufgabe 3.5
Beweisen Sie: Wenn drei nicht kollineare Punkte 
Fixpunkte der Bewegung sind, so ist die identische Abbildung.
