Definitionen in der Mathematik WS 14 15: Unterschied zwischen den Versionen
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Obige Flash-Applikation wurde von Frau Andrea Spitz im Rahmen des Seminars "Erstellen von Multimediaanwendungen für den Unterricht" generiert. | Obige Flash-Applikation wurde von Frau Andrea Spitz im Rahmen des Seminars "Erstellen von Multimediaanwendungen für den Unterricht" generiert. | ||
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==Entwicklung einer "neuen" Definition== | ==Entwicklung einer "neuen" Definition== | ||
Im Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff ''Ellipse'' zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen. <br /> | Im Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff ''Ellipse'' zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen. <br /> | ||
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Bemerkung zu obigem Video: Das geht natürlich noch schöner. Ansporn für Sie?<br /><br /> | Bemerkung zu obigem Video: Das geht natürlich noch schöner. Ansporn für Sie?<br /><br /> | ||
In einer ersten intuitiven Definition können wir also sagen:<br /> | In einer ersten intuitiven Definition können wir also sagen:<br /> | ||
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Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus. | Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus. | ||
====Definition E.1: Ellipse==== | ====Definition E.1: Ellipse==== | ||
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+ | Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte, für die gilt, dass die Summe der Abstände von P zu zwei festen Punkten F1 und F2 konstant ist. | ||
====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse==== | ====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse==== | ||
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==Zurückführen auf bereits vorhanden Definitionen: Verwenden von Oberbegriffen== | ==Zurückführen auf bereits vorhanden Definitionen: Verwenden von Oberbegriffen== | ||
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Obige Flash-Applikation wurde von Frau Andrea Spitz im Rahmen des Seminars "Erstellen von Multimediaanwendungen für den Unterricht" generiert. | Obige Flash-Applikation wurde von Frau Andrea Spitz im Rahmen des Seminars "Erstellen von Multimediaanwendungen für den Unterricht" generiert. |
Aktuelle Version vom 27. Oktober 2014, 19:23 Uhr
Das Haus der Vierecke
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Obige Flash-Applikation wurde von Frau Andrea Spitz im Rahmen des Seminars "Erstellen von Multimediaanwendungen für den Unterricht" generiert.
Was ist eine Definition?
- Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen besteht.
- Eine Definition ist nicht beweisbar und damit auch nicht wahr oder falsch sondern höchstens sinnvoll oder nicht sinnvoll.
Anmerkung: Sie können z. B. eine Raute auf verschiedene Arten definieren. Alle Definitionen sollten aber immer die uns bekannte Raute beschreiben und nicht plötzlich eine andere Figur (Fünfeck, Trapez etc.). Das wäre dann natürlich schon falsch! Beispiele für in diesem Sinne falsche Definitionen finden Sie in den Übungen 1. - Eine Definition sollte so wenig wie möglich und so viel wie nötig beinhalten.
Anmerkung: Dabei schwingt immer eine gewisse Unschärfe mit, die sich didaktisch begründen lässt:
Bsp. Definition Rechteck:
Ein Rechteck ist ein Viereck mit drei rechten Innenwinkel.
Diese Definition ist so knapp wie möglich gehalten. Insbesondere genügt es die Eigenschaft: "besitzt drei rechte Innenwinkel" zu beschreiben, da sich der vierte rechte Innenwinkel zwangsläufig ergibt. In der Regel wird man hier aber ein Rechteck als Viereck mit vier rechten Innenwinkel definieren, da diese Definition insbesondere für Schülerinnen und Schüler einsichtiger und griffiger ist.
Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulieren
Es gibt verschiedene Arten, Definitionen zu formulieren.
Beispiel 1: ggT zweier ganzer Zahlen
Die Begriffe Teiler und Euklidischer Algorithmus seien im Folgenden bereits exakt definiert.
Das Übliche, die Realdefinition
- Es seien
und
zwei ganze Zahlen.
sei die Menge aller Zahlen, die sowohl Teiler von
als auch von
sind. Die größte Zahl der Menge
heißt größter gemeinsamer Teiler der Zahlen
und
.
- Es seien
Konventionaldefinition, das Ganze in "wenn-dann"
- Wenn eine Zahl
sowohl die ganze Zahl
als auch die ganze Zahl
teilt und es keine Zahl
gibt, die auch
und
teilt und dabei größer als
ist, dann ist
der größte gemeinsame Teiler von
und
.
- Wenn eine Zahl
Schön, aber wie bekomme ich den ggT: die genetisch, operative Definition
- Der letzte von 0 verschiedene Rest, den man bei Anwendung des Euklidischen Algorithmus auf die ganzen Zahlen
und
erhält, ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen
und
.
- Der letzte von 0 verschiedene Rest, den man bei Anwendung des Euklidischen Algorithmus auf die ganzen Zahlen
Beispiel 2: Drachenviereck
Die Begriffe Dreieck, Viereck, Diagonale, Eckpunkt, Geradenspiegelung und achsensymmetrisch seien im Folgenden bereits definiert.
Realdefinition
- Ein Viereck, bei dem die eine Diagonale Teilmenge der Mittelsenkrechten seiner anderen Diagonale ist, heißt Drachenviereck.
Konventionaldefinition
- Wenn ein Viereck achsensymmetrisch bezüglich einer Geraden ist, die durch zwei Eckpunkte des Vierecks geht, dann heißt das Viereck Drachenviereck.
genetisch, operative Definition
- Es sei
ein Dreieck und
das Bild von
bei der Spiegelung an
. Das Viereck
ist ein Drachenviereck.
- Es sei
Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen
Aus didaktischer Sicht lassen sich Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen formulieren.
Das nachfolgende Skript gibt weitere Informationen:
* Definitionen
Entwicklung einer "neuen" Definition
Im Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff Ellipse zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen.
YOUTUBE --> http://www.youtube.com/watch?v=7UD8hOs-vaI
Bemerkung zu obigem Video: Das geht natürlich noch schöner. Ansporn für Sie?
In einer ersten intuitiven Definition können wir also sagen:
- eine Ellipse ist ein länglicher Kreis
- eine Ellipse entsteht bei der Gärtnerkonstruktion
Das folgende Applet empfindet die Gärtnerkonstruktion nach.
Aufgaben:
- Experimentieren Sie nun mit dem Applet und machen Sie sich dabei die mathematischen Zusammenhänge klar (Tipp: Bewegen Sie den Punkt P und beobachten Sie die Strecken a und b).
Welche Zusammenhänge entdecken Sie?
- Versuchen Sie nun aus den Erkenntnissen eine formale Definition des Begriffs
Ellipse zu entwickeln.
...
- Können Sie nun den Begriff Kreis unter Verwendung des Oberbegriffs Ellipse definieren?
Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.
Definition E.1: Ellipse
Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte, für die gilt, dass die Summe der Abstände von P zu zwei festen Punkten F1 und F2 konstant ist.
Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse
...
Zurückführen auf bereits vorhanden Definitionen: Verwenden von Oberbegriffen
Das Haus der Vierecke
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Obige Flash-Applikation wurde von Frau Andrea Spitz im Rahmen des Seminars "Erstellen von Multimediaanwendungen für den Unterricht" generiert.