Definitionen in der Mathematik WS 15 16: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 2. November 2015, 14:17 Uhr

Was ist eine Definition?

• Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen besteht.
  
• Eine Definition ist nicht beweisbar und damit auch nicht wahr oder falsch sondern höchstens sinnvoll oder nicht sinnvoll.
  Anmerkung: Sie können z. B. eine Raute auf verschiedene Arten definieren. Alle Definitionen sollten aber immer die uns bekannte Raute beschreiben und nicht plötzlich eine andere Figur (Fünfeck, Trapez etc.). Das wäre dann natürlich schon falsch! Beispiele für in diesem Sinne falsche Definitionen finden Sie in den Übungen 1.
• Eine Definition sollte so wenig wie möglich und so viel wie nötig beinhalten.
  Anmerkung: Dabei schwingt immer eine gewisse Unschärfe mit, die sich didaktisch begründen lässt:
  Bsp. Definition Rechteck:
  Ein Rechteck ist ein Viereck mit drei rechten Innenwinkel.
  Diese Definition ist so knapp wie möglich gehalten. Insbesondere genügt es die Eigenschaft: "besitzt drei rechte Innenwinkel" zu beschreiben, da sich der vierte rechte Innenwinkel zwangsläufig ergibt. In der Regel wird man hier aber ein Rechteck als Viereck mit vier rechten Innenwinkel definieren, da diese Definition insbesondere für Schülerinnen und Schüler einsichtiger und griffiger ist.
  
  

Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulieren

Es gibt verschiedene Arten, Definitionen zu formulieren.

Beispiel 1: ggT zweier ganzer Zahlen

Die Begriffe Teiler und Euklidischer Algorithmus seien im Folgenden bereits exakt definiert.

Das Übliche, die Realdefinition

Es seien und zwei ganze Zahlen. sei die Menge aller Zahlen, die sowohl Teiler von als auch von sind. Die größte Zahl der Menge heißt größter gemeinsamer Teiler der Zahlen und .

Konventionaldefinition, das Ganze in "wenn-dann"

Wenn eine Zahl sowohl die ganze Zahl als auch die ganze Zahl teilt und es keine Zahl gibt, die auch und teilt und dabei größer als ist, dann ist der größte gemeinsame Teiler von und .

Schön, aber wie bekomme ich den ggT: die genetisch, operative Definition

Der letzte von 0 verschiedene Rest, den man bei Anwendung des Euklidischen Algorithmus auf die ganzen Zahlen und erhält, ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen und .

Beispiel 2: Drachenviereck

Die Begriffe Dreieck, Viereck, Diagonale, Eckpunkt, Geradenspiegelung und achsensymmetrisch seien im Folgenden bereits definiert.

Realdefinition

Ein Viereck, bei dem die eine Diagonale Teilmenge der Mittelsenkrechten seiner anderen Diagonale ist, heißt Drachenviereck.

Konventionaldefinition

Wenn ein Viereck achsensymmetrisch bezüglich einer Geraden ist, die durch zwei Eckpunkte des Vierecks geht, dann heißt das Viereck Drachenviereck.

genetisch, operative Definition

Es sei ein Dreieck und das Bild von bei der Spiegelung an . Das Viereck ist ein Drachenviereck.

Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen

Aus didaktischer Sicht lassen sich Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen formulieren.

Das nachfolgende Skript gibt weitere Informationen:
* Definitionen

Entwicklung einer "neuen" Definition

Im Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff Ellipse zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen.
YOUTUBE --> http://www.youtube.com/watch?v=7UD8hOs-vaI

Bemerkung zu obigem Video: Das geht natürlich noch schöner. Ansporn für Sie?

In einer ersten intuitiven Definition können wir also sagen:

• eine Ellipse hat die Form eines Ei´s
• eine Ellipse hat die Form eines Kopfes
• eine Ellipse hat die Form eines gestauchten Kreises
• eine Ellipse ist das, was bei der Gärtnerkonstruktion entsteht (in der Vorlesung entstanden)--Schnirch (Diskussion) 15:11, 26. Okt. 2015 (CET)

Das folgende Applet empfindet die Gärtnerkonstruktion nach.

Aufgaben:

1. Experimentieren Sie nun mit dem Applet und machen Sie sich dabei die mathematischen Zusammenhänge klar (Tipp: Bewegen Sie den Punkt P und beobachten Sie die Strecken a und b).
   Welche Zusammenhänge entdecken Sie?
2. Versuchen Sie nun aus den Erkenntnissen eine formale Definition des Begriffs
   Ellipse zu entwickeln.
   
   

...

1. Können Sie nun den Begriff Kreis unter Verwendung des Oberbegriffs Ellipse definieren?
   

Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.

Definition E.1: Ellipse

Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte P∈E (Ebene) für die gilt, dass |PF₁|+|PF₂|=const. mit F₁ und F₂ sind Punkte der Ebene E. Außerdem muss gelten |PF₁|+|PF₂|>|F₁F₂|. --Bill Murray (Diskussion) 16:13, 26. Okt. 2015 (CET)

Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse

Ein Kreis ist eine Ellipse, bei der die beiden Brennpunkte F1 und F2 identisch sind.--Schnirch (Diskussion) 14:17, 2. Nov. 2015 (CET)