Quiz/Spiel der Woche 3 (WS 16 17): Unterschied zwischen den Versionen

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Welche Definition für Kreis ist richtig? Warum (nicht)?<br />
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{ In welchen Fällen handelt es sich um eine korrekte Definition des Begriffs Dreieck?
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(Wir gehen davon aus, dass die Begriffe n-Eck und Eckpunkt eines n-Ecks bereits korrekt definiert wurden.) }
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- Ein Dreieck hat drei Eckpunkte.
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|| Gut zu wissen, aber was ist denn nun ein Dreieck?
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- Jedes n-Eck mit drei Eckpunkten ist ein Dreieck.
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|| Ein Viereck hat auch drei Ecken. Analogie: Das ein Bier-Problem: Frau: Wo warst du? Mann: Ich habe ein Bier getrunken. Frau (sauer) Es waren bestimmt 8 Bier. Bewertung: Beide haben Recht. Der Mann hat nicht gelogen. (Ein Bier zu trinken ist eine notwendige Bedingung um 8 Bier zu trinken. Allerdings ist es nicht hinreichend, ein Bier zu trinken um 8 Bier getrunken zu haben.)
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- Es gibt n-Ecke mit drei Eckpunkten, welche Dreiecke genannt werden.
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|| Was zu beweisen wäre. Definitionen kann man nicht beweisen.
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+ Für n=3 ist ein n-Eck ein Dreieck.
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|| Wenn n=3 gilt, gilt nicht gleichzeitig etwa n=5.
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+ Ein n-Eck mit genau drei Eckpunkten ist ein Dreieck.
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|| Analog zur vorangegengenen Frage.
  
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* Sei <math>M</math> ein Punkt und <math>P</math> eine Menge, deren Elemente Punkte sind. Wenn gilt: <math>\left| MP \right|</math> ist konstant, so ist <math>P</math> ein Kreis mit Mittelpunkt <math>M</math>.
 
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* Sei <math>M</math> ein Punkt und <math>P</math> eine Punktmenge. Wenn gilt: <math>X\in P:\left| XM \right|=r</math>, dann ist <math>P</math> ein Kreis.
 
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* Sei <math>M</math> ein Punkt in der Ebene <math>E</math> und <math>P</math> eine Punktmenge. Wenn <math>P</math> alle Punkte <math>X</math> enthält für die gilt∶ <math>\left| XM \right|=r,r\in  \mathbb{R}^{+}</math> und <math>X\in E </math>, dann ist <math>P</math> ein Kreis mit dem Mittelpunkt <math>M</math>.
 
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* Sei <math>M</math> ein Punkt in der Ebene <math>E</math> und <math>P</math> eine Punktmenge. Wenn <math>P</math> genau alle Punkte <math>X</math> enthält für die gilt∶ <math>\left| XM \right|=r,r\in  \mathbb{R}^{+}</math> und <math>X\in E </math>, dann ist <math>P</math> ein Kreis mit dem Mittelpunkt <math>M</math>.
 
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* Sei <math>M</math> ein Punkt in der Ebene <math>E</math> und <math>P</math> eine Menge, deren Elemente Punkte sind. Wenn für alle <math>X \in P</math> gilt∶ <math>\left| XM \right|=r,r\in  \mathbb{R}^{+}</math>, dann ist <math>P</math> ein Kreis.
 
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* Sei <math>M</math> ein Punkt und <math>P</math> eine Menge, deren Elemente Punkte sind. Alle Elemente von <math>P</math> liegen in ein und derselben Ebene wie <math>M</math>. Wenn gilt: <math>\left| MP \right|</math> ist konstant, so ist <math>P</math> ein Kreis mit Mittelpunkt <math>M</math>.
 
  
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{ In welchen Fällen handelt es sich <u>nicht</u> um eine Definition?}
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- (1) Ein gemeines Dreiecksknux ist eine Gerade <math>d_K</math>, zu der ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math> derart existiert, dass keiner der Eckpunkte von <math>\overline{ABC}</math> zu <math>d_K</math> gehört, aber jede Seite des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> genau einen Punkt mit <math>d_K</math> gemeinsam hat.
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|| Natürlich gibt es keine Dreiecksknuxe, es bleibt uns aber unbenommen, über den Begriff des Dreiecksknuxes auf extravante Weise den Begriff der leeren Menge noch einmal zu definieren. Merke: Ob es Repräsentanten für einen definierten Begriff ''B'' gibt oder nicht, ist völlig irrelevant bezüglich einer Entscheidung, ob es sich bei der Definition von ''B'' um eine solche handelt oder nicht.
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- (2) Der gemeine Dreiecksknux ist die Gerade, die alle drei Seiten eines Dreicks schneidet und dabei nicht durch die Eckpunkte dieses Dreiecks geht.
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|| Vorsicht ist angemahnt, wenn der bestimmte Artikel in einer Definition verwendet wird. Im vorliegenden Fall ist es egal. Es gibt keinen gemeinen Drteiecksknux. Die Definition ist also völlig korrekt und im übrigen äquivalent zu (1). (In beiden Fällen wird die leere Menge definiert.)
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- (3) Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck. Der gemeine Dreiecksknux von <math>\overline{ABC}</math> ist der Kreis <math>k</math>, der jede Seite von <math>\overline{ABC}</math> in genau einem Punkt berührt.
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|| Ja, ja der gemeine Dreiecksknux formerly known as "Inkreis". Saubere Definition, es bleibt uns unbenommen, eine Umbenennung vorzunehmen. Dass wir damit in der Mathematik-Community viel Beifall ernten werden, ist eher nicht zu erwarten, aber verbieten dürfen sie uns die Umbenennung nicht. Merke: Mathematik ist zutiefst basisdemokratisch. Ergo: Wer Definitionen auswendig lernt, ist kein guter Demokrat.
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- (4) Wenn zu einem Dreieck ein Dreiecksknux entsprechend (3) existiert, so ist das Dreieck ein Tangentendreieck.
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|| Saubere Definition trotzdem ziemlich sinnlos. Jedes Dreieck wäre damit ein Tangentendreieck. Damit macht es nicht viel Sinn, den Begriff zu definieren.
  
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{ In welchen Fällen handelt es sich um eine formal korrekte Definition des Begriffs Raute? }
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- Eine Raute ist ein Trapez mit zwei Paaren paralleler Gegenseiten.
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|| ist das nicht eher ein Parallelogramm? Wobei jede Raute ein Parallelogramm ist, aber nicht jedes Parallelogramm ist eine Raute!
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+ Eine Raute ist ein Viereck mit zwei Paaren paralleler Gegenseiten, wobei die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen.
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|| Stimmt :)
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- Rauten sind Parallelogramme mit zwei Paaren kongruenter Winkel.
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|| Nicht genau genug.
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+ Ein Drachen mit einer weiteren Symmetrieachse.
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|| Stimmt!
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{In welchen der folgenden Fälle wird im Sinne einer exakten mathematischen Definition beschrieben, was unter der Diagonale eines Vierecks zu verstehen ist?}
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- (I) Vierecksdiagonale ist wenn zwei Punkte des Vierecks verbunden werden, wo nicht Endpunkte einer Seite sind.
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|| Der Deutsch gruselt mir. Man kann in den Ausführungen aber noch mehr finden, wo fehlerhaft ischt. Fertigen Sie Skizzen an, die verdeutlichen, wie fehlerhaft die "Definition" auch ohne Berücksichtigung gewisser Schwäbeleien ist.
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- (II) Eine Vierecksdiagonale ist eine Gerade, die durch zwei Eckpunkte eines Vierecks geht.
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|| Gerade ist schon mal falsch, eine Diagonale ist eine Strecke. Selbst wenn Diagonalen Geraden wären, wäre die "Definition" nicht korrekt. Warum? Diskutieren Sie! Untermauern Sie Ihre Argumente mit selbsgefertigten Skizzen.
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- (III) Eine Vierecksdiagonale ist eine Strecke, deren Endpunkte Vierecksecken sind, die nicht Endpunkte einer Seite sind.
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|| Mal wieder eine Definition der leeren Menge. Warum? Diskutieren Sie!
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- (IV) Eine Vierecksdiagonale ist eine Strecke, deren Endpunkte die Ecken eines Vierecks sind, die nicht zu ein und derselben Vierecksseite gehören.
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|| ... die nicht zu ein und derselben Vierecksseite gehören., es könnte sein, dass sich diese Aussage auf ein weiteres Viereck bezieht.
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- (V) Eine Vierecksdiagonale ist eine Strecke, deren Endpunkte die Ecken eines Vierecks sind, die nicht zu ein und derselben Seite dieses Vierecks gehören.
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|| Schon besser aber immer noch suboptimal. Man könnte die Definition fast durchgehen lassen und viele Mathematiklehrer würde das auch so handhaben. Warum ist die Definition nur suboptimal? Erstellen Sie eine aus Ihrer Sicht optimale Definition des Begriffs Diagonale eines Vierecks und geben Sie diese zur Diskussion frei!
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{ Gern schreibt man in einer Definition zunächst auf, wer in der Definition "mitspielt". Das Ganze beginnt dann häufig recht altertümlich mit den Worten "Es sei ... ." Leider gibt es den ein oder anderen modernen Studierenden, der bezüglich des korrekten semantischen und syntaktischen Gebrauchs des Konjunktiv I leicht in Verlegenheit zu bringen ist. Kennzeichnen Sie, ob in den folgenden Formulierungen der Konjunktiv I hinsichtlich seiner Verwendung in einer Definition korrekt formuliert wurde.}
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- Es sei P.
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|| Schön, aber was sei denn mit P?
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- Es sei ein Punkt.
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|| Davon gibt es bestimmt eine ganze Menge.
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+ Es sei P ein Punkt.
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|| Sauber, wir wollen also von einem Punkt ausgehen, der P heißen möge.
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- Es sei der Punkt P.
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|| Und was soll nun mit P sein?
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+ Es sei der Punkt P gegeben.
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|| Ach so gegeben soll er also sein.
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+ Gegeben sei der Punkt P.
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|| Alles klar.
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+ P sei ein Punkt.
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|| Alles klar.
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[[Category:Geo_P]]

Version vom 3. November 2016, 13:04 Uhr

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1. In welchen Fällen handelt es sich um eine korrekte Definition des Begriffs Dreieck? (Wir gehen davon aus, dass die Begriffe n-Eck und Eckpunkt eines n-Ecks bereits korrekt definiert wurden.)

Ein Dreieck hat drei Eckpunkte.
→ Gut zu wissen, aber was ist denn nun ein Dreieck?
Jedes n-Eck mit drei Eckpunkten ist ein Dreieck.
→ Ein Viereck hat auch drei Ecken. Analogie: Das ein Bier-Problem: Frau: Wo warst du? Mann: Ich habe ein Bier getrunken. Frau (sauer) Es waren bestimmt 8 Bier. Bewertung: Beide haben Recht. Der Mann hat nicht gelogen. (Ein Bier zu trinken ist eine notwendige Bedingung um 8 Bier zu trinken. Allerdings ist es nicht hinreichend, ein Bier zu trinken um 8 Bier getrunken zu haben.)
Es gibt n-Ecke mit drei Eckpunkten, welche Dreiecke genannt werden.
→ Was zu beweisen wäre. Definitionen kann man nicht beweisen.
Für n=3 ist ein n-Eck ein Dreieck.
→ Wenn n=3 gilt, gilt nicht gleichzeitig etwa n=5.
Ein n-Eck mit genau drei Eckpunkten ist ein Dreieck.
→ Analog zur vorangegengenen Frage.

2. In welchen Fällen handelt es sich nicht um eine Definition?

(1) Ein gemeines Dreiecksknux ist eine Gerade d_K, zu der ein Dreieck \overline{ABC} derart existiert, dass keiner der Eckpunkte von \overline{ABC} zu d_K gehört, aber jede Seite des Dreiecks \overline{ABC} genau einen Punkt mit d_K gemeinsam hat.
→ Natürlich gibt es keine Dreiecksknuxe, es bleibt uns aber unbenommen, über den Begriff des Dreiecksknuxes auf extravante Weise den Begriff der leeren Menge noch einmal zu definieren. Merke: Ob es Repräsentanten für einen definierten Begriff B gibt oder nicht, ist völlig irrelevant bezüglich einer Entscheidung, ob es sich bei der Definition von B um eine solche handelt oder nicht.
(2) Der gemeine Dreiecksknux ist die Gerade, die alle drei Seiten eines Dreicks schneidet und dabei nicht durch die Eckpunkte dieses Dreiecks geht.
→ Vorsicht ist angemahnt, wenn der bestimmte Artikel in einer Definition verwendet wird. Im vorliegenden Fall ist es egal. Es gibt keinen gemeinen Drteiecksknux. Die Definition ist also völlig korrekt und im übrigen äquivalent zu (1). (In beiden Fällen wird die leere Menge definiert.)
(3) Es sei \overline{ABC} ein Dreieck. Der gemeine Dreiecksknux von \overline{ABC} ist der Kreis k, der jede Seite von \overline{ABC} in genau einem Punkt berührt.
→ Ja, ja der gemeine Dreiecksknux formerly known as "Inkreis". Saubere Definition, es bleibt uns unbenommen, eine Umbenennung vorzunehmen. Dass wir damit in der Mathematik-Community viel Beifall ernten werden, ist eher nicht zu erwarten, aber verbieten dürfen sie uns die Umbenennung nicht. Merke: Mathematik ist zutiefst basisdemokratisch. Ergo: Wer Definitionen auswendig lernt, ist kein guter Demokrat.
(4) Wenn zu einem Dreieck ein Dreiecksknux entsprechend (3) existiert, so ist das Dreieck ein Tangentendreieck.
→ Saubere Definition trotzdem ziemlich sinnlos. Jedes Dreieck wäre damit ein Tangentendreieck. Damit macht es nicht viel Sinn, den Begriff zu definieren.

3. In welchen Fällen handelt es sich um eine formal korrekte Definition des Begriffs Raute?

Eine Raute ist ein Trapez mit zwei Paaren paralleler Gegenseiten.
→ ist das nicht eher ein Parallelogramm? Wobei jede Raute ein Parallelogramm ist, aber nicht jedes Parallelogramm ist eine Raute!
Eine Raute ist ein Viereck mit zwei Paaren paralleler Gegenseiten, wobei die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen.
→ Stimmt :)
Rauten sind Parallelogramme mit zwei Paaren kongruenter Winkel.
→ Nicht genau genug.
Ein Drachen mit einer weiteren Symmetrieachse.
→ Stimmt!

4. In welchen der folgenden Fälle wird im Sinne einer exakten mathematischen Definition beschrieben, was unter der Diagonale eines Vierecks zu verstehen ist?

(I) Vierecksdiagonale ist wenn zwei Punkte des Vierecks verbunden werden, wo nicht Endpunkte einer Seite sind.
→ Der Deutsch gruselt mir. Man kann in den Ausführungen aber noch mehr finden, wo fehlerhaft ischt. Fertigen Sie Skizzen an, die verdeutlichen, wie fehlerhaft die "Definition" auch ohne Berücksichtigung gewisser Schwäbeleien ist.
(II) Eine Vierecksdiagonale ist eine Gerade, die durch zwei Eckpunkte eines Vierecks geht.
→ Gerade ist schon mal falsch, eine Diagonale ist eine Strecke. Selbst wenn Diagonalen Geraden wären, wäre die "Definition" nicht korrekt. Warum? Diskutieren Sie! Untermauern Sie Ihre Argumente mit selbsgefertigten Skizzen.
(III) Eine Vierecksdiagonale ist eine Strecke, deren Endpunkte Vierecksecken sind, die nicht Endpunkte einer Seite sind.
→ Mal wieder eine Definition der leeren Menge. Warum? Diskutieren Sie!
(IV) Eine Vierecksdiagonale ist eine Strecke, deren Endpunkte die Ecken eines Vierecks sind, die nicht zu ein und derselben Vierecksseite gehören.
→ ... die nicht zu ein und derselben Vierecksseite gehören., es könnte sein, dass sich diese Aussage auf ein weiteres Viereck bezieht.
(V) Eine Vierecksdiagonale ist eine Strecke, deren Endpunkte die Ecken eines Vierecks sind, die nicht zu ein und derselben Seite dieses Vierecks gehören.
→ Schon besser aber immer noch suboptimal. Man könnte die Definition fast durchgehen lassen und viele Mathematiklehrer würde das auch so handhaben. Warum ist die Definition nur suboptimal? Erstellen Sie eine aus Ihrer Sicht optimale Definition des Begriffs Diagonale eines Vierecks und geben Sie diese zur Diskussion frei!

5. Gern schreibt man in einer Definition zunächst auf, wer in der Definition "mitspielt". Das Ganze beginnt dann häufig recht altertümlich mit den Worten "Es sei ... ." Leider gibt es den ein oder anderen modernen Studierenden, der bezüglich des korrekten semantischen und syntaktischen Gebrauchs des Konjunktiv I leicht in Verlegenheit zu bringen ist. Kennzeichnen Sie, ob in den folgenden Formulierungen der Konjunktiv I hinsichtlich seiner Verwendung in einer Definition korrekt formuliert wurde.

Es sei P.
→ Schön, aber was sei denn mit P?
Es sei ein Punkt.
→ Davon gibt es bestimmt eine ganze Menge.
Es sei P ein Punkt.
→ Sauber, wir wollen also von einem Punkt ausgehen, der P heißen möge.
Es sei der Punkt P.
→ Und was soll nun mit P sein?
Es sei der Punkt P gegeben.
→ Ach so gegeben soll er also sein.
Gegeben sei der Punkt P.
→ Alles klar.
P sei ein Punkt.
→ Alles klar.

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