Implikationen SoSe 2017: Unterschied zwischen den Versionen

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Zwei Aussagen <math>a</math> und <math>b</math> lassen sich durch ein logisches und zu einer Aussage zusammenfassen.
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Wenn <math>t|a</math> und <math>t|b</math>, dann <math>t|(a+b)</math>.<br />
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Version vom 7. Mai 2017, 14:01 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Mathematische Aussagen

Beispiele

Primzahlen

Es lassen sich z.B. die folgenden Aussagen zu Primzahlen machen:

Aussage Wahrheitswert
Die Zahl 3 ist eine Primzahl. wahr
Die Zahl 4 ist eine Primzahl. falsch
Es gibt unendlich viele Primzahlen. wahr
Es gibt genauso viele Primzahlen wie es natürliche Zahlen gibt. wahr.

Keine Aussage zu Primzahlen ist:

Jede natürlich Zahl, die nur durch sich selbst und durch 1 teilbar ist, heißt Primzahl.

Wichtige Sätze der Schulgeometrie

Sätze sind Aussagen, die wahr sind. Eine Aussage, die nicht wahr ist, kann demzufolge auch kein Satz sein.

  • Innenwinkelsatz für Dreiecke: Die Innenwinkelsumme eines jeden Dreiecks ist gleich der Größe eines gestreckten Winkels.
  • Satz des Pythagoras: In rechtwinkligen Dreiecken ist die Summe der Quadrate der Katheten gleich dem Quadrat der Hypotenuse.
  • Starker Außenwinkelsatz: Jeder Außenwinkel eines Dreiecks ist so groß wie die Summe der beiden nichtanliegenden Innenwinkel des Dreiecks.
  • Basiswinkelsatz: Wenn ein Dreieck gleichschenklig ist, dann sind seine Basiswinkel kongruent zueinander.

Ergänzen Sie durch eigene Sätze, die Sie noch aus der Schule kennen:

  • .....
  • .....
  • .....

Begriff der Aussage

Ein sauber Definition des Begriffs mathematische Aussage bleibt uns hier versagt, es reichen intuitive Vorstellungen der folgenden Art:

  • Eine Aussage ist ein sprachliches Gebilde, welche zur Beschreibung und Mitteilung von Sachverhalten dienen. (Kleine Enzyklopädie Mathematik. VEB Bibliographisches Institut Leipzig)(1983).

Bei einer mathematischen Aussage setzt man zwei Prinzipien voraus:

  • Das Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten: Eine Aussage ist wahr (1) oder falsch (0).
  • Das Prinzip vom ausgeschlossenen Widerspruch: Eine Aussage kann nicht gleichzeitig wahr und falsch sein.

Beide Prinzipien zusammengefasst:

  • Eine mathematische Aussage ist entweder wahr oder falsch.

Weitere Beispiele und Gegenbeispiele für Aussagen

Ergänzen Sie die folgende Tabelle:

keine Aussage Aussage
Gründonnerstag Gründonnerstag regnet es immer.
Ab jetzt heißt Raider Twix. Im Januar hat man festgelegt, dass Raider Twix heißt.
Die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl ziehen. Die Quadratwurzel aus einer nagativen Zahl in in \mathbb{R} nicht definiert.
Konstruiere einen Kreis. ihr Beispiel
ihr Beispiel ihr Beispiel

Die Negation einer Aussage

Beispiele

Aussage Negation der Aussage
2 ist Primzahl 2 ist keine Primzahl
Die Eisernen steigen auf. Die Eisernen steigen nicht auf.
Die Hose ist grün. Die Hose ist nicht grün.
ihr Beispiel ihr Beispiel
ihr Beispiel ihr Beispiel

Wahrheitswerttabelle

Wenn p eine Aussage ist, dann ist es üblich, mit \neg p die Negation von p zu kennzeichnen.

p \neg p
wahr falsch
falsch wahr

Hinweis: Die LaTex-Syntax für das Zeichen \neg ist \neg.

Verknüpfung zweier Aussagen

logisches und

Die Idee

Zwei Aussagen a und b lassen sich durch ein logisches und zu einer Aussage zusammenfassen.

Beispiel Teilbarkeit von Summen

Wenn t|a und t|b, dann t|(a+b).
Voraussetzung a: a: t|a
Voraussetzung b: b: t|b Zusammenfassung zu einer Voraussetzung: t|a \land t|b.

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