Lösung von Aufgabe 12.1: Unterschied zwischen den Versionen

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Das offene Innere von <math>\ \beta^'</math> ist der Schnitt zweier offener Halbebenen <math>\ AB,C^- \cap \ CB,A^+</math>.<br />
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Der Punkt <math>\ P</math> würde gerade dann nicht im Inneren des Winkels <math>\beta^'</math> liegen,wenn er
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# in Halbenbene <math>\ AC,B^+</math> <br />oder<br />
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# in der Halbebene <math>\ CB,A^-</math> <br />liegen würde.
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<u>zu 1.</u><br />
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Als Punkt der Halberaden <math>\ MC^-</math> (Konstruktion von <math>\ P</math>) kann <math>\ P</math> nicht mit <math>\ C</math> auf ein und derselben Seite bezüglich <math>\ AB</math> liegen.<br />
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<u>zu 2.</u><br />
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<u>2.a</u><br />
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Annahme: <math>\ P \in CB</math>
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In diesem Fall würde gelten: <math>\ CP \equiv CB</math>. (Begründung mittels Inzidenzaxiomen ist jetzt nicht mehr nötig.) Wir wollen uns darauf einigen die Gerade <math>\ CP \equiv \ CB</math> mit <math>\ g</math> zu bezeichnen.<br />
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Die Gerade <math>\ CP</math> hat mit der Geraden <math>\ AB</math> genau einen Punkt gemeinsam, den Punkt <math>\ M</math>.<br />
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Die Gerade <math>\ CB</math> hat mit der Geraden <math>\ AB</math> genau einen Punkt gemeinsam, den Punkt <math>\ B</math>.<br />
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Da die beiden Geraden <math>\ CB</math> und <math>\ CP</math> identisch sind und die nichtidentischen Geraden <math>\ g</math> und <math>\ AB</math> maximal einen Punkt gemeinsam haben können, <br />müssen die beiden Punkte <math>\ M</math> und <math>\ B</math> identisch sein.<br />
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Letzteres ist ein Widerspruch zur Wahl von <math>\ M</math>.<math>\ M</math> ist nämlich der Mittelpunkt von <math>\ \overline{AB}</math>.<br /><br />

Version vom 11. Juli 2010, 21:32 Uhr

Der schwache Außenwinkelsatz

Überprüfen Sie Ihr Verständnis: Ist Schritt 2.a im Beweis des schwachen Außenwinkelsatzes wirklich nötig? Wenn ja warum?
Der schwache Außenwinkelsatz


Das offene Innere von \ \beta^' ist der Schnitt zweier offener Halbebenen \ AB,C^- \cap \ CB,A^+.

Der Punkt \ P würde gerade dann nicht im Inneren des Winkels \beta^' liegen,wenn er

  1. in Halbenbene \ AC,B^+
    oder
  2. in der Halbebene \ CB,A^-
    liegen würde.

zu 1.
Als Punkt der Halberaden \ MC^- (Konstruktion von \ P) kann \ P nicht mit \ C auf ein und derselben Seite bezüglich \ AB liegen.

zu 2.
2.a
Annahme: \ P \in CB In diesem Fall würde gelten: \ CP \equiv CB. (Begründung mittels Inzidenzaxiomen ist jetzt nicht mehr nötig.) Wir wollen uns darauf einigen die Gerade \ CP \equiv \ CB mit \ g zu bezeichnen.
Die Gerade \ CP hat mit der Geraden \ AB genau einen Punkt gemeinsam, den Punkt \ M.
Die Gerade \ CB hat mit der Geraden \ AB genau einen Punkt gemeinsam, den Punkt \ B.
Da die beiden Geraden \ CB und \ CP identisch sind und die nichtidentischen Geraden \ g und \ AB maximal einen Punkt gemeinsam haben können,
müssen die beiden Punkte \ M und \ B identisch sein.
Letzteres ist ein Widerspruch zur Wahl von \ M.\ M ist nämlich der Mittelpunkt von \ \overline{AB}.

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