Lösung von Aufgabe 12.1: Unterschied zwischen den Versionen
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Das offene Innere von <math>\ \beta^'</math> ist der Schnitt zweier offener Halbebenen <math>\ AB,C^- \cap \ CB,A^+</math>.<br /> | Das offene Innere von <math>\ \beta^'</math> ist der Schnitt zweier offener Halbebenen <math>\ AB,C^- \cap \ CB,A^+</math>.<br /> | ||
Version vom 11. Juli 2010, 22:36 Uhr
Der schwache Außenwinkelsatz
Überprüfen Sie Ihr Verständnis: Ist Schritt 2.a im Beweis des schwachen Außenwinkelsatzes wirklich nötig? Wenn ja warum?
Der schwache Außenwinkelsatz
Das offene Innere von ist der Schnitt zweier offener Halbebenen
.
Der Punkt würde gerade dann nicht im Inneren des Winkels
liegen,wenn er
- in Halbenbene
oder
- in der Halbebene
liegen würde.
zu 1.
Als Punkt der Halberaden (Konstruktion von
) kann
nicht mit
auf ein und derselben Seite bezüglich
liegen.
zu 2.
2.a
Annahme:
In diesem Fall würde gelten:
. (Begründung mittels Inzidenzaxiomen ist jetzt nicht mehr nötig.) Wir wollen uns darauf einigen die Gerade
mit
zu bezeichnen.
Die Gerade hat mit der Geraden
genau einen Punkt gemeinsam, den Punkt
.
Die Gerade hat mit der Geraden
genau einen Punkt gemeinsam, den Punkt
.
Da die beiden Geraden und
identisch sind und die nichtidentischen Geraden
und
maximal einen Punkt gemeinsam haben können,
müssen die beiden Punkte und
identisch sein.
Letzteres ist ein Widerspruch zur Wahl von .
ist nämlich der Mittelpunkt von
.