Halbebenen und das Axiom von Pasch SoSe 2017: Unterschied zwischen den Versionen
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− | :Es seien <math>\ \ | + | :Es seien <math>\ \varepsilon</math> eine Ebene und <math>\ t</math> eine Gerade, die vollständig in <math>\ \varepsilon</math> liegt. Ferner sei <math>\ Q</math> ein nicht zu <math>\ t</math> gehörender Punkt der Ebene <math>\ \varepsilon</math>. Die Menge <math>\ \varepsilon \setminus t</math> wird durch durch den Trenner <math>\ t</math> in genau zwei Klassen eingeteilt: |
− | ::# Die Menge aller Punkte von <math>\ \ | + | ::# Die Menge aller Punkte von <math>\ \varepsilon \setminus t</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben ... . |
− | ::# Die Menge aller Punkte von <math>\ \ | + | ::# Die Menge aller Punkte von <math>\ \varepsilon \setminus t</math>, die mit <math>\ Q</math> nicht auf derselben ... . |
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− | | Zu unsere Vorstellung von der Eigenschaften einer beliebigen Ebene <math>\ | + | | Zu unsere Vorstellung von der Eigenschaften einer beliebigen Ebene <math>\varepsilon</math> gehört u.a., dass jede Gerade <math>\ g</math>, die zu unserer jeweiligen Ebene <math>\varepsilon</math> gehört, diese in zwei ''Hälften'' bzw. zwei ''Seiten'' einteilt. Zur Kennzeichnung der beiden ''Seiten'' von <math>\varepsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> verwenden wir einen Punkt <math>\ Q \in \varepsilon</math>, welcher nicht zu <math>\ g</math> gehören sollte. |
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− | | Zu der einen ''Hälfte'' von <math>\ \ | + | | Zu der einen ''Hälfte'' von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> gehören alle die Punkte aus <math>\varepsilon \setminus g</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite von <math>\ g</math> liegen. Alle anderen Punkte aus <math>\varepsilon \setminus g</math> gehören zur anderen Seite von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>. |
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==== Offene Halbebenen ==== | ==== Offene Halbebenen ==== | ||
− | Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene <math>\ \ | + | Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene <math>\ \varepsilon</math>, die nicht auf einer Geraden <math>\ g</math> dieser Ebene liegen, durch diese Gerade <math>\ g</math> eingeteilt wird, heißen offene Halbebenen von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math>. Der nicht zu <math>\ g</math> gehörende Referenzpunkt <math>\ Q \in \varepsilon</math> bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich <math>\ g</math> mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite liegen, wird mit <math>\ gQ^{+}</math> bezeichnet, die andere offene Halbebene von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> und <math>\ Q</math> mit <math>\ gQ^{-}</math>. |
− | Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte <math>\ P</math> und <math> \ Q</math> einer Ebene <math>\ \ | + | Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte <math>\ P</math> und <math> \ Q</math> einer Ebene <math>\ \varepsilon</math> auf ein und derselben bzw. auf zwei verschiedenen Seiten dieser Ebene bezüglich einer Geraden <math>\ g</math> liegen. |
===== Definition IV.1: (offene Halbebene)===== | ===== Definition IV.1: (offene Halbebene)===== | ||
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===== Definition IV.2: (Halbebene) ===== | ===== Definition IV.2: (Halbebene) ===== | ||
− | ::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \ | + | ::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \varepsilon</math>. <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> seien die beiden offenen Halbebenen von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> mit jeweils dieser Geraden <math>\ g</math> entstehen. |
Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: <math>\ g Q^+</math>, (geschlossene) Halbebene: <math>\ g Q^+</math>. Der weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass <math>\ g Q^+</math> bzw. <math>\ g Q^-</math> immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen.<br /> | Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: <math>\ g Q^+</math>, (geschlossene) Halbebene: <math>\ g Q^+</math>. Der weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass <math>\ g Q^+</math> bzw. <math>\ g Q^-</math> immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen.<br /> |
Version vom 11. Juni 2017, 18:13 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Halbebenen und das Axiom von Pasch
Halbebenen
Analogiebetrachtungen
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Die folgenden Lückentexte können Sie auch als Übungsblatt im pdf-Format herunterladen: Übungsblatt Halbgeraden/-ebenen
Wir konstatieren:
- Eine Gerade wird durch einen ............ in zwei ............ eingeteilt.
- Eine Ebene wird durch eine ............ in zwei ............ eingeteilt..
- Eine Gerade wird durch einen ............ in zwei ............ eingeteilt.
- Eine Gerade ist ein .....dimensionales Objekt.
- Eine Ebene ist ein .....dimensionales Objekt
- Eine Gerade ist ein .....dimensionales Objekt.
- Im Fall dieser Geradenteilung ist der Trenner ein .....dimensionales geometrisches Objekt
- Im Fall dieser Ebenenteilung ist der Trenner ein .....dimensionales geometrisches Objekt.
- Im Fall dieser Geradenteilung ist der Trenner ein .....dimensionales geometrisches Objekt
- Wenn also n die Dimension des geometrischen Objekts ist, das geteilt wird, dann hat der Trenner die Dimension ..... .
Geradenteilung:
- Es seien
eine Gerade und
ein Punkt auf ihr. Ferner sei
ein von
verschiedener Punkt der Geraden
. Die Menge
wird durch durch den Trenner
in genau zwei Klassen eingeteilt:
- Die Menge aller Punkte von
, die mit
auf derselben ... .
- Die Menge aller Punkte von
, die mit
nicht auf derselben ... .
- Die Menge aller Punkte von
Ebenenteilung:
- Es seien
eine Ebene und
eine Gerade, die vollständig in
liegt. Ferner sei
ein nicht zu
gehörender Punkt der Ebene
. Die Menge
wird durch durch den Trenner
in genau zwei Klassen eingeteilt:
- Die Menge aller Punkte von
, die mit
auf derselben ... .
- Die Menge aller Punkte von
, die mit
nicht auf derselben ... .
- Die Menge aller Punkte von
Definition des Begriffs der Halbebene
Alles hat zwei Seiten oder grundlegende Ideen der Beschaffenheit von Ebenen
Offene Halbebenen
Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene , die nicht auf einer Geraden
dieser Ebene liegen, durch diese Gerade
eingeteilt wird, heißen offene Halbebenen von
bezüglich der Trägergeraden
. Der nicht zu
gehörende Referenzpunkt
bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich
mit
auf derselben Seite liegen, wird mit
bezeichnet, die andere offene Halbebene von
bezüglich
und
mit
.
Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte und
einer Ebene
auf ein und derselben bzw. auf zwei verschiedenen Seiten dieser Ebene bezüglich einer Geraden
liegen.
Definition IV.1: (offene Halbebene)
- Es sei
eine Ebene in der die Gerade
liegen möge. Ferner sei
ein Punkt der Ebene
, der nicht zur Geraden
gehört.
Unter den offenen Halbebenenund
bezüglich der Trägergeraden
versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene
ohne die Gerade
:
- Es sei
Halbebenen
Vereinigt man die Menge der Punkte einer offenen Halbeben mit der Menge der Punkte der Trägergerade so erhält man eine Halbebene.
Definition IV.2: (Halbebene)
- Es sei
eine Gerade der Ebene
.
und
seien die beiden offenen Halbebenen von
bezüglich
. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von
bezüglich
versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von
bezüglich der Geraden
mit jeweils dieser Geraden
entstehen.
- Es sei
Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: , (geschlossene) Halbebene:
. Der weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass
bzw.
immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen.
Definition IV.3: Halbraum
Gegeben sei eine Ebene .
- Halbraum
- Halbraum
- Halbraum
Das Axiom von Pasch
- Was Axiomatik ist und wie man Axiome zu formulieren hat, das ist erst gegen Ende des 19. Jh. von Pasch gezeigt worden; von ihm lernten es die italienischen Geometer und lernte es Hilbert.
Hans Freudenthal, Mathematik als pädagogische Aufgabe, Stuttgart 1973, S. 14)
- Was Axiomatik ist und wie man Axiome zu formulieren hat, das ist erst gegen Ende des 19. Jh. von Pasch gezeigt worden; von ihm lernten es die italienischen Geometer und lernte es Hilbert.
Axiom III.2: Das Axiom von Pasch
- Gegeben sei ein Dreieck
. Ferner sei
eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte
geht. Wenn
eine der drei Seiten des Dreiecks
schneidet, dann schneidet
genau eine weitere Seite des Dreiecks
.
- Gegeben sei ein Dreieck
Konvexe Punktmengen
Definition IV.4: (konvexe Punktmenge)
- Eine Menge
von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten
und
dieser Menge die gesamte Strecke
zu
gehört.
- Eine Menge
Satz IV.2
- Halbebenen sind konvexe Punktmengen
Beweis von Satz IV.2
trivial (Der Leser überzeuge sich davon)
Satz IV.3
- Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.
Beweis von Satz IV.3
Es seien und
zwei konvexe Mengen.
zu zeigen: Der Durchschnitt der beiden Mengen und
ist auch konvex.