Lösung von Aufgabe 6.9: Unterschied zwischen den Versionen

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(→‎Lösung --Schnirch 13:50, 16. Jun. 2010 (UTC))
 
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<u>'''Satz:'''</u>
 
<u>'''Satz:'''</u>
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::Von drei Punkten <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> ein und derselben Geraden <math>\ g</math> liegt genau einer zwischen den beiden anderen.
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::Von drei paarweise verschiedenen Punkten <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> ein und derselben Geraden <math>\ g</math> liegt genau einer zwischen den beiden anderen.
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Beweisen Sie diesen Satz.
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Beweisen Sie diesen Satz.<br />
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== Lösung --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 13:50, 16. Jun. 2010 (UTC) ==
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<u>'''Satz in ''wenn-dann'':'''</u><br />
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::Wenn drei Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> kollinear sind, dann liegt genau einer zwischen den beiden anderen Punkten.
  
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<u>'''Beweis'''</u>
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Satz in ''wenn-dann'':<br />
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Wenn drei Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> ..., dann ... .
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Es seien also <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> drei Punkte.
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Es seien also <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> drei Punkte.<br />
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<u>'''Voraussetzung:'''</u>
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<u>'''Voraussetzungen:'''</u>
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koll(<math>\ A, B</math> und <math>\ C</math>)
  
  
 
<u>'''Behauptung'''</u><br />
 
<u>'''Behauptung'''</u><br />
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::<math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{ ,  ,   \right \}</math>
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::es gilt genau eine der drei möglichen Zwischenrelationen: <math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{B, A, C \right \}</math>
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| (II), Def (Zwischenrelation)
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| Widerspruch, da die beiden Punkte B und C identisch sein müssten, nach Voraussetzung aber drei verschiedene Punkte A, B und C gegeben sind.
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Eine Frage: Wenn im Satz von drei PAARWEISE VERSCHIEDENEN Punkten die Rede ist, warum lassen sie es einfach weg? Ich werde immer unsicherer was diese Spitzfindigkeiten angeht, weil nie die gleichen Regeln zu gelten scheinen und mich das ganz verrückt macht!
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Darf ich davon ausgehen, das wenn von drei Punkte die Rede ist, diese immer verschieden sind oder nicht? Wenn ja wieso darf ich das in diesem Fall und in anderen nicht?
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Wenn ich nicht davon ausgehen kann, muss das "paarweise verschieden" dabei sein, weil die Voraussetzung sonst eine ganz andere ist???
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--[[Benutzer:Principella|Principella]] 15:45, 21. Jun. 2010 (UTC)
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In diesem Fall muss es nicht explizit geschrieben werden, weil die Definition von kollinear schon besagt, dass die Punkte paarweiße verschieden sein müssen.
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--[[Benutzer:DrSchwuchtel|DrSchwuchtel]] 16:38, 11. Jul. 2010 (UTC)
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Nein, nein, nein! :) Meine Definition kollinear besagt was ganz anderes!!! "Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält".
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Wenn zwei oder alle drei Punkte identisch wären, so gäbe es auf jeden Fall eine Gerade, die alle drei enthält!!!
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Das der Beweis so nicht geführt werden kann, ist eine andere Geschichte...
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Oje, oje wie soll das mit der Klausur bei dir nur klappen :)
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--[[Benutzer:Principella|Principella]] 15:58, 12. Jul. 2010 (UTC)
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== vorausgegangene Diskussion ==
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<u>'''Satz:'''</u>
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::Von drei paarweise verschiedenen Punkten <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> ein und derselben Geraden <math>\ g</math> liegt genau einer zwischen den beiden anderen.
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Beweisen Sie diesen Satz.<br />
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<u>'''Satz in ''wenn-dann'':'''</u><br />
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::Wenn drei Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> kollinear sind, dann liegt genau einer zwischen den beiden anderen Punkten (und umgekehrt???) .
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<u>'''Beweis'''</u><br />
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Es seien also <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> drei Punkte.<br />
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<u>'''Voraussetzungen:'''</u>
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koll(<math>\ A, B</math> und <math>\ C</math>)
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<u>'''Behauptung'''</u><br />
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::<math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{A, C, B  \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{B, A, C \right \}</math>
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| Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>
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|Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)
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| <math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
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| Axiom II/3.1
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...und jetzt?
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Ich glaube, es ist noch zu zeigen, dass genau einer zwischen den beiden anderen liegt. Habe deinen Beweis ab Schritt IV weitergeführt:
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| <math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{A, C, B  \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{B, A, C \right \}</math>
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| Def (Zwischenrelation)
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| zu zeigen: es liegt genau einer zwischen den beiden anderen
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| <math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
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| (Axiom II/3)
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| <math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
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| rechnen mit reellen Zahlen, (Axiom II/2)
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| <math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AB \right|- \left| BC \right| </math>
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| (VII gleichgesetzt), rechnen mit reellen Zahlen
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| <math>\left| AB \right| + 2 \left| BC \right| = \left| AB \right| </math>
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| (VIII), + <math>\left| BC \right|</math>
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| (IX), - <math>\left| AB \right|</math>
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| Widerspruch, da das zweifache eines Abstands nicht null ergeben kann.
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<br />--> Annahme zu verwerfen, Behauptung wahr.
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--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:58, 4. Jun. 2010 (UTC)
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==== Versuch II ==== ===
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<u>'''Satz in ''wenn-dann'':'''</u><br />
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::Wenn drei Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> ein und derselben Gerade g paarweise verschieden sind, dann liegt genau einer zwischen den beiden anderen.
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<u>'''Beweis'''</u><br />
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Es seien also <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> drei Punkte.<br />
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<u>'''Voraussetzungen:'''</u>
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<math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> sind Punkte ein und derselben Geraden und paarweise verschieden.
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<u>'''Behauptung'''</u><br />
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::<math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{ A, C, B  \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{ B, A, C \right \}</math>
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{| class="wikitable "
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|+ Beweis
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! Nr.
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! Beweisschritt
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! Begründung
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! style="background: #FFDDDD;"|(I)
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| <math>\operatorname{koll} \left \{ A, B, C \right \}</math>
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| Voraussetzung
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| <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> paarweise verschieden
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| Voraussetzung
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| (1.) <math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math><br /> (2.) <math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math><br /> (3.) <math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math>
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| I., Axiom II/3
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| (1.)<math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math><br />(2.) <math>\operatorname{zw}\left \{ A, C, B  \right \}</math><br />(3.) <math>\operatorname{zw}\left \{ B, A, C \right \}</math>
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| III./(1.), III./(2.), III./(3.), Definition (Zwischenrelation)
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| Behauptung ist wahr
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--[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 12:39, 5. Jun. 2010 (UTC)

Aktuelle Version vom 12. Juli 2010, 16:58 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Vorlage

Satz:

Von drei paarweise verschiedenen Punkten \ A, B und \ C ein und derselben Geraden \ g liegt genau einer zwischen den beiden anderen.

Beweisen Sie diesen Satz.

Lösung --Schnirch 13:50, 16. Jun. 2010 (UTC)

Satz in wenn-dann:

Wenn drei Punkte \ A, B und \ C kollinear sind, dann liegt genau einer zwischen den beiden anderen Punkten.

Beweis

Es seien also \ A, B und \ C drei Punkte.
Voraussetzungen: koll(\ A, B und \ C)


Behauptung

es gilt genau eine der drei möglichen Zwischenrelationen: \operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \} oder \operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \} oder \operatorname{zw}\left \{B, A, C \right \}
Beweis
Nr. Beweisschritt Begründung
(I) \operatorname{koll} \left \{ A, B, C \right \} Voraussetzung
(II) es gilt eine der drei Gleichungen:


\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|
\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right|
\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right|

(I), Axiom II/3
(III) \operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \} oder \operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \} oder \operatorname{zw}\left \{B, A, C \right \} (II), Def (Zwischenrelation)
(IV) zu zeigen: es liegt genau einer zwischen den beiden anderen


Annahme: es gilt o.B.d.A. \operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \} und \operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \}

(V) \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|


\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right|

(IV), (Axiom II/3)
(VI) \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|


\left| AB \right| - \left| CB \right| = \left| AC \right|

rechnen mit reellen Zahlen, (Axiom II/2)
(VII) \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AB \right|- \left| BC \right| (VI gleichgesetzt), rechnen mit reellen Zahlen
(VIII) \left| AB \right| + 2 \left| BC \right| = \left| AB \right| (VII), + \left| BC \right|
(IX) \ 2 \left| BC \right| = 0 (VIII), - \left| AB \right|
(X) Widerspruch, da die beiden Punkte B und C identisch sein müssten, nach Voraussetzung aber drei verschiedene Punkte A, B und C gegeben sind.


--> Annahme zu verwerfen, Behauptung stimmt.

Eine Frage: Wenn im Satz von drei PAARWEISE VERSCHIEDENEN Punkten die Rede ist, warum lassen sie es einfach weg? Ich werde immer unsicherer was diese Spitzfindigkeiten angeht, weil nie die gleichen Regeln zu gelten scheinen und mich das ganz verrückt macht! Darf ich davon ausgehen, das wenn von drei Punkte die Rede ist, diese immer verschieden sind oder nicht? Wenn ja wieso darf ich das in diesem Fall und in anderen nicht? Wenn ich nicht davon ausgehen kann, muss das "paarweise verschieden" dabei sein, weil die Voraussetzung sonst eine ganz andere ist??? --Principella 15:45, 21. Jun. 2010 (UTC)

In diesem Fall muss es nicht explizit geschrieben werden, weil die Definition von kollinear schon besagt, dass die Punkte paarweiße verschieden sein müssen. --DrSchwuchtel 16:38, 11. Jul. 2010 (UTC)

Nein, nein, nein! :) Meine Definition kollinear besagt was ganz anderes!!! "Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält". Wenn zwei oder alle drei Punkte identisch wären, so gäbe es auf jeden Fall eine Gerade, die alle drei enthält!!! Das der Beweis so nicht geführt werden kann, ist eine andere Geschichte... Oje, oje wie soll das mit der Klausur bei dir nur klappen :) --Principella 15:58, 12. Jul. 2010 (UTC)

vorausgegangene Diskussion

Versuch I

Satz:

Von drei paarweise verschiedenen Punkten \ A, B und \ C ein und derselben Geraden \ g liegt genau einer zwischen den beiden anderen.

Beweisen Sie diesen Satz.
Satz in wenn-dann:

Wenn drei Punkte \ A, B und \ C kollinear sind, dann liegt genau einer zwischen den beiden anderen Punkten (und umgekehrt???) .

Beweis

Es seien also \ A, B und \ C drei Punkte.
Voraussetzungen: koll(\ A, B und \ C)


Behauptung

\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \} oder \operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \} oder \operatorname{zw}\left \{B, A, C \right \}
Beweis
Nr. Beweisschritt Begründung
(I) \operatorname{koll} \left \{ A, B, C \right \} Voraussetzung
(II) Für drei beliebige Punkte \ A, B und \ C gilt: \left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|. Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)
(III) \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|


\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right|
\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right|

Axiom II/3.1


Axiom II/3.2
Axiom II/3.3

(IV)
(V)

...und jetzt? --Heinzvaneugen

Ich glaube, es ist noch zu zeigen, dass genau einer zwischen den beiden anderen liegt. Habe deinen Beweis ab Schritt IV weitergeführt:

Beweis
Nr. Beweisschritt Begründung
(IV) \operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \} oder \operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \} oder \operatorname{zw}\left \{B, A, C \right \} Def (Zwischenrelation)
(V) zu zeigen: es liegt genau einer zwischen den beiden anderen


Annahme: es gilt \operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \} und \operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \}

(VI) \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|


\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right|

(Axiom II/3)
(VII) \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|


\left| AB \right| - \left| CB \right| = \left| AC \right|

rechnen mit reellen Zahlen, (Axiom II/2)
(VIII) \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AB \right|- \left| BC \right| (VII gleichgesetzt), rechnen mit reellen Zahlen
(IX) \left| AB \right| + 2 \left| BC \right| = \left| AB \right| (VIII), + \left| BC \right|
(X) \ 2 \left| BC \right| = 0 (IX), - \left| AB \right|
(XI) Widerspruch, da das zweifache eines Abstands nicht null ergeben kann.


--> Annahme zu verwerfen, Behauptung wahr.

--Löwenzahn 17:58, 4. Jun. 2010 (UTC)


= Versuch II ====

Satz in wenn-dann:

Wenn drei Punkte \ A, B und \ C ein und derselben Gerade g paarweise verschieden sind, dann liegt genau einer zwischen den beiden anderen.

Beweis

Es seien also \ A, B und \ C drei Punkte.
Voraussetzungen:

\ A, B und \ C sind Punkte ein und derselben Geraden und paarweise verschieden.

Behauptung

\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \} oder \operatorname{zw}\left \{ A, C, B \right \} oder \operatorname{zw}\left \{ B, A, C \right \}
Beweis
Nr. Beweisschritt Begründung
(I) \operatorname{koll} \left \{ A, B, C \right \} Voraussetzung
(II) \ A, B und \ C paarweise verschieden Voraussetzung
(III) (1.) \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|
(2.) \left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right|
(3.) \left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| 		I., Axiom II/3
(IV) (1.)\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}
(2.) \operatorname{zw}\left \{ A, C, B \right \}
(3.) \operatorname{zw}\left \{ B, A, C \right \} 		III./(1.), III./(2.), III./(3.), Definition (Zwischenrelation)
(V) Behauptung ist wahr

--Maude001 12:39, 5. Jun. 2010 (UTC)

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