Das Euklidische Parallelenaxiom SoSe 2017: Unterschied zwischen den Versionen
*m.g.* (Diskussion | Beiträge) (Die Seite wurde neu angelegt: „<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;"> {|width=90%| style="backgro…“) |
*m.g.* (Diskussion | Beiträge) (→Das Euklidische Parallelenaxiom) |
||
Zeile 29: | Zeile 29: | ||
===== EP ===== | ===== EP ===== | ||
::Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es höchstens eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und zu <math>\ g</math> parallel ist. | ::Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es höchstens eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und zu <math>\ g</math> parallel ist. | ||
+ | ===== EP im Original ===== | ||
+ | [[Datei:EP 0riginal.png|EP im Original]]<br /> | ||
+ | Euklid hatte sein Postulat im Original anders formuliert:<br /> | ||
+ | |||
+ | Endlich, wenn eine Gerade zwei Geraden trifft und mit ihnen auf derselben Seite innere Winkel bildet, die zusammen kleiner sind als zwei Rechte, so sollen die beiden Geraden, ins Unendliche verlängert, schließlich auf der Seite zusammentreffen, auf der die Winkel liegen, die zusammen kleiner sind als zwei Rechte. | ||
+ | |||
+ | Erläuteren Sie den Zusammenhang von Euklids 5. Postulat zu den Sätzen über die Winkel an geschnittenen Geraden. | ||
+ | |||
== Sätze über Winkel an geschnittenen Parallelen == | == Sätze über Winkel an geschnittenen Parallelen == | ||
=== Der Stufenwinkelsatz === | === Der Stufenwinkelsatz === |
Version vom 9. Juli 2017, 15:33 Uhr
Geschichte des ParallelenaxiomsVater und Sohn BolyaiDu darfst die Parallelen nicht auf jenem Wege versuchen; ich kenne
diesen Weg bis an sein Ende — auch ich habe diese bodenlose Nacht
durchmessen, jedes Licht, jede Freude meines Lebens sind in ihr ausgelöscht worden — ich beschwöre Dich bei Gott — laß die Lehre von
den Parallelen in Frieden. . . sie kann Dich um all Deine Ruhe, Deine
Gesundheit und um Dein ganzes Lebensglück bringen. . . .Wenn
ich die Parallelen hätte entdecken können, so wäre ich ein Engel geworden.
. . . Es ist unbegreiflich, daß diese unabwendbare Dunkelheit,
diese ewige Sonnenfinsternis, dieser Makel der Geometrie zugelassen
wurde, diese ewige Wolke an der jungfräulichen Wahrheit. Carl Friedrich Gaußhttp://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gau%C3%9F Николай Иванович Лобачевскийhttp://de.wikipedia.org/wiki/Lobatschewski Das Euklidische ParallelenaxiomEP
EP im Original
Endlich, wenn eine Gerade zwei Geraden trifft und mit ihnen auf derselben Seite innere Winkel bildet, die zusammen kleiner sind als zwei Rechte, so sollen die beiden Geraden, ins Unendliche verlängert, schließlich auf der Seite zusammentreffen, auf der die Winkel liegen, die zusammen kleiner sind als zwei Rechte. Erläuteren Sie den Zusammenhang von Euklids 5. Postulat zu den Sätzen über die Winkel an geschnittenen Geraden. Sätze über Winkel an geschnittenen ParallelenDer StufenwinkelsatzSatz XII.1: (Stufenwinkelsatz)Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander. Beweis: Der WechselwinkelsatzSatz XII.2: (Wechselwinkelsatz)Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander. Beweis: Der Satz über die entgegengesetzt liegenden Winkel an geschnittenen ParallelenSatz XII.3Entgegengesetzte Winkel an geschnittenen Parallelen sind supplementär. Beweis: |