Übungsaufgaben zur Algebra, Serie 2 SoSe 2018: Unterschied zwischen den Versionen
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Beweisen Sie: Bis auf Strukturgleicheit gibt es zwei und nur zwei verschiedene vierelementige Gruppen. | Beweisen Sie: Bis auf Strukturgleicheit gibt es zwei und nur zwei verschiedene vierelementige Gruppen. | ||
+ | =Aufgabe 2.5= | ||
+ | Es sei <math>[ G, \circ]</math> eine Gruppe. Beweisen Sie: Wenn <math>b\in G </math> das Rechtsinverse zu <math>a \in G</math> ist, dann ist <math>b</math> auch das Linksinverse von <math>a</math> bzgl. <math>\circ</math>. | ||
+ | =Aufgabe 2.6= | ||
+ | Es sei <math>[ G, \circ]</math> eine Gruppe. Beweisen Sie: Wenn <math>e \in G</math> das Linkseinselement von <math>[ G, \circ]</math> ist, dann ist <math>e</math> auch das Rechtseinselement von <math>[ G, \circ]</math>. | ||
+ | =Aufgabe 2.7= | ||
+ | Beweisen Sie die Eindeutigkeit des Einselementes für Gruppen. | ||
+ | =Aufgabe 2.8= | ||
+ | Beweisen Sie: In jeder Gruppe hat jedes Gruppenelement genau ein inverses Element.[\mat | ||
+ | =Aufgabe 2.9= | ||
+ | Beweisen Sie: In jeder Gruppe <math>[G, \circ]</math> sind die Gleichungen <br /> | ||
+ | <math>\begin{align} a \circ x &= b \\ y \circ a &= b \end{align}</math><br /> | ||
+ | eindeutig Lösbar. | ||
+ | =Aufgabe 2.10= | ||
+ | In jeder Gruppe sind die in Aufgabe 2.9 genannten Gleichungen immer eindeutig lösbar. In den Modulen der natürlichen Zahlen mit der Multiplikation bzw. mit der Addition sind die genannten Gleichungen nicht immer lösbar. Eine Gemeinsamkeit bzgl. der Lösbarkeit der Gleichungen haben diese Module allerdings mit Gruppen gemeinsam. Welche? Diese Eigenschaft heißt im übrigen Regularität. <math>[\mathbb{N}, + ]</math> und <math>[\mathbb{N}, \cdot ]</math> sind kommutative, reguläre Halbgruppen mit Einslement. | ||
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Aktuelle Version vom 1. Mai 2018, 16:29 Uhr
Aufgabe 2.1Gegeben sei Bestimmen Sie Aufgabe 2.2Bestimmen Sie die Verknüpfungstafel der Gruppe Aufgabe 2.3Es sei Aufgabe 2.4Beweisen Sie: Bis auf Strukturgleicheit gibt es zwei und nur zwei verschiedene vierelementige Gruppen. Aufgabe 2.5Es sei Aufgabe 2.6Es sei Aufgabe 2.7Beweisen Sie die Eindeutigkeit des Einselementes für Gruppen. Aufgabe 2.8Beweisen Sie: In jeder Gruppe hat jedes Gruppenelement genau ein inverses Element.[\mat Aufgabe 2.9Beweisen Sie: In jeder Gruppe Aufgabe 2.10In jeder Gruppe sind die in Aufgabe 2.9 genannten Gleichungen immer eindeutig lösbar. In den Modulen der natürlichen Zahlen mit der Multiplikation bzw. mit der Addition sind die genannten Gleichungen nicht immer lösbar. Eine Gemeinsamkeit bzgl. der Lösbarkeit der Gleichungen haben diese Module allerdings mit Gruppen gemeinsam. Welche? Diese Eigenschaft heißt im übrigen Regularität. |