Übungsaufgaben zur Algebra, Serie 3 SoSe 2018: Unterschied zwischen den Versionen
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=Aufgabe 3.2= | =Aufgabe 3.2= | ||
− | Auf der Menge aller Brüche <math>\mathbb{B}</math>definieren wir deine Relation | + | Auf der Menge aller Brüche <math>\mathbb{B}</math> definieren wir deine Relation quotientengleich <math>=_Q</math>: <br /> |
<math>\forall \frac{a}{b}, \frac{c}{d} \in \mathbb{B}: \frac{a}{b} =_Q \frac{c}{d} :\Leftrightarrow a \cdot d = b \cdot c.</math><br /> | <math>\forall \frac{a}{b}, \frac{c}{d} \in \mathbb{B}: \frac{a}{b} =_Q \frac{c}{d} :\Leftrightarrow a \cdot d = b \cdot c.</math><br /> | ||
+ | Zeigen Sie, dass <math>=_Q</math> eine Äquivalenzrelation ist. | ||
=Aufgabe 3.3= | =Aufgabe 3.3= | ||
+ | Die Relation quotientengleich <math>=_Q</math> ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller Brüche und zieht damit eine Klasseneinteilung nach sich. Die Menge aller Äquivalenzklassen nach <math>=_Q</math> ist die Menge der gebrochenen Zahlen <math>\mathbb{Q}^+</math>. Eine gebrochene Zahl <math>\overline{\frac{a}{b}}</math> ist damit eine Äquivalenzklasse nach der Relation <math>=_Q</math>, d.h. der Bruch <math>\frac{e}{f}</math> gehört genau dann zu <math>\overline{\frac{a}{b}}</math>, wenn <math>\frac{e}{f}=_Q\frac{a}{b}</math> gilt. Beweisen Sie die Repräsentantenunabhängigkeit der Multiplikation gebrochener Zahlen. | ||
+ | |||
=Aufgabe 3.4= | =Aufgabe 3.4= | ||
+ | Bestimmen Sie die Ordnung der multiplikativen Restklassengruppe modulo 97. | ||
+ | |||
=Aufgabe 3.5= | =Aufgabe 3.5= | ||
+ | Bestimmen Sie die Elementordnungen der Elemente der Klein'schen Vierergruppe. | ||
+ | |||
=Aufgabe 3.6= | =Aufgabe 3.6= | ||
+ | Bestimmen Sie alle erzeugenden Elemente der additiven Restklassengruppe modulo 256. (Excel hilft) | ||
+ | |||
=Aufgabe 3.7= | =Aufgabe 3.7= | ||
+ | Es sei <math>[G, \oplus]</math> eine zyklische Gruppe. Beweisen Sie, dass <math>[G, \oplus]</math> kommutativ ist. | ||
+ | |||
=Aufgabe 3.8= | =Aufgabe 3.8= | ||
+ | Es sei <math>[G, \otimes]</math> eine endliche Gruppe. Beweisen Sie: In jeder Zeile und in jeder Spalte der Verknüpfungstafel von <math>[G, \otimes]</math> tritt jedes Element aus <math>[G, \otimes]</math> genau einmal auf. | ||
+ | |||
=Aufgabe 3.9= | =Aufgabe 3.9= | ||
+ | Gegeben seien die folgenden Matrizen: | ||
+ | {| | ||
+ | |- | ||
+ | |(a)|| <math>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | (b) || <math>\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | (c)|| <math>\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \sqrt{3} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \sqrt{3} \end{pmatrix}</math> | ||
+ | |- | ||
+ | |(d) || <math>\begin{pmatrix}2 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | (e) || <math>\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \sqrt{2} & -\frac{1}{2} \sqrt{2} \\ \frac{1}{2} \sqrt{2} & \frac{1}{2} \sqrt{2} \end{pmatrix}</math> | ||
+ | |} | ||
+ | Dir transponierte Matrix <math>M^T</math>einer gegebenen Matrix <math>M</math> erhält man, wenn man die Rolle der Zeilen und Spalten vertauscht, d.h aus der ersten Zeile macht man die erste Spalte, aus der zweiten Zeile die zweite Spalte ... :<br /> | ||
+ | <math>\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^T= \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}</math><br /> | ||
+ | Für welche der gegeben Matrizen ist die transponierte Matrix gleich der inversen Matrix? | ||
+ | |||
=Aufgabe 3.10= | =Aufgabe 3.10= | ||
+ | Es sei <math>D</math> die folgende Menge von Matrizen:<br /> | ||
+ | <math>D:=\left \{ \begin{pmatrix} \cos x & -\sin x \\ \sin x & \cos x \end{pmatrix} \bigg \vert x \in \mathbb{R}\right \}</math><br /> | ||
+ | a) Beweisen Sie: <math>D</math> bildet zusammen mit der Matrizenmultiplikation <math>\circ</math> eine Gruppe.<br /> | ||
+ | b) Was gilt für die Determinante aller Elemente von <math>D</math>? | ||
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<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben ---> | <!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben ---> | ||
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[[Kategorie:Algebra]] | [[Kategorie:Algebra]] |
Aktuelle Version vom 6. Mai 2018, 12:46 Uhr
Aufgabe 3.1Es seien Aufgabe 3.2Auf der Menge aller Brüche Aufgabe 3.3Die Relation quotientengleich Aufgabe 3.4Bestimmen Sie die Ordnung der multiplikativen Restklassengruppe modulo 97. Aufgabe 3.5Bestimmen Sie die Elementordnungen der Elemente der Klein'schen Vierergruppe. Aufgabe 3.6Bestimmen Sie alle erzeugenden Elemente der additiven Restklassengruppe modulo 256. (Excel hilft) Aufgabe 3.7Es sei Aufgabe 3.8Es sei Aufgabe 3.9Gegeben seien die folgenden Matrizen:
Dir transponierte Matrix Aufgabe 3.10Es sei |